Поняття розбиття множини на класи 1

Поняття множини і операцій над множинами дозволяють уточнити наше уявлення про класифікацію - дії розподілу об'єктів по класах.

Класифікацію ми виконуємо досить часто. Так, натуральні числа представляємо як два класи - парні і непарні. Кути на площині розбиваємо на три класи: прямі, гострі і тупі.

Будь-яка класифікація пов'язана з розбиттям деякої множини об'єктів на підмножини. При цьому вважають, що безліч X розбите на класи X1. Х2. ХП. якщо:

2) об'єднання підмножин X1. Х2. ХП збігається з безліччю X.

Якщо не виконано хоча б одна з умов, класифікацію вважають неправильною. Наприклад, якщо з безлічі X трикутників виділити підмножини рівнобедрених, рівносторонніх і різнобічних трикутників, то розбиття ми не отримаємо, оскільки підмножини рівнобедрених і рівносторонніх трикутників перетинаються (всі равносторонние трикутники є рівнобокими). В даному випадку не виконано першу умову розбиття множини на класи.

Так як розбиття множини на класи пов'язано з виділенням його підмножин, то класифікацію можна виконувати МРІ допомоги властивостей елементів множин.

Розглянемо, наприклад, безліч натуральних чисел. Його елементи мають різні властивості. Покладемо, що нас цікавлять числа, що володіють властивістю «бути кратним 3». Це властивість дозволяє виділити з безлічі натуральних чисел підмножина, що складається з чисел, кратних 3. Тоді

про інші натуральні числа можна сказати, що вони не кратні 3, тобто отримуємо ще одне підмножина безлічі натуральних чисел (рис. 12). Так як виділені підмножини не перетинаються, а їх об'єднання збігається з безліччю натуральних чисел, то маємо розбиття цієї множини на два класи.

Взагалі, якщо на множині X задано одна властивість, то це безліч розбивається на два класи. Перший-це клас об'єктів, що володіють цією властивістю, а другий-додаток першого класу до безлічі X. У другому класі містяться такі об'єкти безлічі X, які заданою властивістю не володіють. Таку класифікацію називають дихотомічної.

Розглянемо тепер ситуацію, коли для елементів множини задані два властивості. Наприклад, які властивості натуральних чисел, як «бути кратним 3» і «бути кратним 5». За допомогою цих властивостей з безлічі N натуральних чисел можна виділити дна підмножини: А - підмножина чисел, кратних 3, і В - підмножина чисел, кратних 5. Ці безлічі перетинаються, але жодне з них не є підмножиною іншого (рис. 13).

Проаналізуємо вийшов малюнок. Звичайно, розбиття множини натуральних чисел на підмножини А і В не відбулося. Але коло, що зображує безліч N, можна розглядати як що складається з чотирьох непересічних областей - на малюнку вони пронумеровані. Кожна область зображує деяке підмножина безлічі N. Підмножина I складається з чисел, кратних 3 і 5; підмножина II - з чисел, кратних 3 і не кратних 5; підмножина III -з чисел, кратних 5 і не кратних 3; підмножина IV- з чисел, що не кратних 3 і не кратних 5. Об'єднання цих чотирьох підмножин є безліч N.

Таким чином, виділення двох властивостей призвело до розбиття безлічі N натуральних чисел на чотири класи.

Не слід думати, що завдання двох властивостей елементів безлічі завжди призводить до розбиття цієї множини на чотири класи. Наприклад, за допомогою таких двох властивостей «бути кратним 3» і «бути кратним 6» безліч натуральних чисел розбивається на три класи (рис. 14):

I - клас чисел, кратних 6; II - клас чисел, кратних 3, але не кратних 6; III - клас чисел, що не кратних 3.

Використовуючи дві цифри, наприклад, 3 і 5, можна записати чотири двозначних числа: 35, 53, 33 і 55. Незважаючи на те що числа 35 і 53 записані за допомогою одних і тих же цифр, ці числа різні. У тому випадку, коли важливий порядок проходження елементів, в математиці кажуть про упорядкованих наборах елементів. У розглянутому прикладі ми мали справу з упорядкованими парами.

Впорядковану пару, утворену з елементів а і b, прийнято записувати, використовуючи круглі дужки: (а; b). Елемент а називають першою координатою (компонентою) пари. а елемент b - другий координатою (компонентою) пари.

Пари (а; b) і (с; d) рівні в тому і тільки в тому випадку, коли a = c і b = d.

У впорядкованої парі (а; b) може бути, що а = b. Так, запис чисел 33 і 55 можна розглядати як впорядковані пари (3; 3) і (5; 5).

Впорядковані пари можна утворювати як з елементів однієї множини, так і двох множин. Нехай, наприклад, 4 =, В =. Утворити впорядковані пари так, щоб перша компонента належала безлічі А, а друга-безлічі В. Якщо ми перерахуємо всі такі пари, то отримаємо безліч:

Бачимо, що маючи два безлічі А і В, ми отримали нове безліч, елементами якого є впорядковані пари чисел. Це безліч називають декартовим твором множин Аі В.

Визначення. Декартових твором множин А і В називається множина всіх пар, перша компонента яких належить множині А, а друга компонента належить множині В.

Декартово твір множин А і В позначають Ах В. Використовуючи це позначення, визначення декартова твори можна записати так:

З а д а ч а 1. Знайдіть декартовій твір множин А і В, якщо:

Рішення. а) Діємо згідно определенію- утворюємо всі пари, перша компонента яких вибирається з А, а друга - з В:

б) Декартово твір рівних множин знаходять, утворюючи всілякі пари з елементів даної множини:

Операцію знаходження декартова твори множин називають декартовим множенням. З'ясуємо, якими властивостями володіє ця операція. Так як декартові твори А х В і В х А складаються з різних елементів, то декартово множення множин А і В властивістю коммутативности не володіє. Можна довести, що для декартова множення не виконується і властивість асоціативності. Але декартовій твір дистрибутивно щодо об'єднання і віднімання множин, тобто для будь-яких множин А, В і С виконуються рівності:

(А В) х С = (А х С) (В х С),

(А \ В) х С = (А х В) \ (В х С).

З а д а ч а 2. Перевірте справедливість властивості дистрибутивности декартова множення щодо об'єднання, якщо:

Рішення. Знайдемо об'єднання множин А і В: А В =. Далі перерахуємо елементи безлічі (А В) х С, використовуючи визначення декартова твори: (А У) х С =.

Щоб знайти елементи безлічі (А х С) (В х С), перерахуємо спочатку елементи множин А х С і В х С:

Бачимо, що безлічі (А В) х С і (А х С) (В х С) складаються з одних і тих же елементів, отже, для даних множин А, В і С справедливо рівність (А В) х С = = ( А х С) (В х С).

З'ясуємо тепер, як можна наочно представляти декартовій твір множин.

Якщо множини А і В кінцеві і містять невелику кількість елементів, то можна зобразити декартовій твір цих множин за допомогою графа або таблиці. Наприклад, декартовій твір множин А = і В = можна змалювати таку картину, як показано на малюнку 17 (а, б).

Декартово твір двох числових множин (кінцевих і нескінченних) можна зображувати на координатної площині, так як кожна пара чисел може бути єдиним чином зображена точкою на цій площині. Наприклад, декартовій твір А хВ множин А = і В = = (3, 5> на координатної площині буде виглядати так, як показано на малюнку 18.

0 1 2 3 х Рис.18

Зауважимо, що елементи множини А ми зобразили на осі Ох, а елементи множини В - на осі Оу.

Такий спосіб наочного подання декартова твори двох числових множин зручно використовувати в разі, коли хоча б одне з них нескінченне.

Завдання 3. Зобразити на координатної площині декартовій твір Ах В, якщо:

Р і ш е н і е, а) Так як безліч А складається з трьох елементів, а множина В містить всі дійсні числа від 3 до 5, включаючи і самі ці числа, то декартовій твір А х В складатиметься з нескінченної кількості нар, перша компонента яких або 1, або 2, або 3, а друга-будь-яке дійсне число з проміжку [3, 5]. Таке безліч пар дійсних чисел на координатній площині відіб'ється трьома відрізками (рис. 19).

0 1 2 3 х Рис. 19

б) У цьому випадку нескінченні обидва безлічі А і В. Тому першою координатою пари, що належить безлічі Ах В, може бути будь-яке число з проміжку [1,3], і, отже, точки, що зображують елементи декартова твори даних множин А і В, утворюють квадрат (рис. 20).

г) Декартово твір R x R складається з різноманітних дійсних чисел. Точки, що зображують ці пари, суцільно заповнюють координатну площину. Таким чином, декартовій твір R x R містить стільки ж елементів, скільки точок знаходиться на координатної площині.

У математиці та інших науках розглядають не тільки впорядковані пари, але і впорядковані набори з трьох, чотирьох і т.д. елементів. Наприклад, запис числа 367- це упорядкований набір з трьох елементів, а запис слова «математика» - це упорядкований набір з 10 елементів.

Впорядковані набори часто називають кортежами і розрізняють по довжині. Довжина кортежу - це число елементів, з яких він складається. Наприклад, (3; 6; 7) - це кортеж довжини 3, (м, а, т, е, м, а, т, і, до, а) - це кортеж довжини 10.

Розглядають в математиці і декартовій твір трьох, чотирьох і взагалі і множин.

Визначення. Декартових твором множин A1. А2. Аn називається безліч всіх кортежів довжини n, перша компонента яких належить множині A1. друга - безлічі А2. n-я - безлічі An.

Ре ш е н і е. Елементами безлічі A1 х А2 х А3 будуть кортежі довжини 3 такі, що перша їх компонента належить множині A1, друга - безлічі А2. третя - безлічі А3.