Поняття комплексної частоти, електротехніка

Поняття комплексної частоти

Спектральні методи, як вже відомо, засновані на тому, що досліджуваний сигнал представляється у вигляді суми необмежено великого числа елементарних доданків, кожне з яких періодично змінюється в часі за законом exp (jwt).

Природне узагальнення цього принципу укладено в тому, що замість комплексних експоненційних сигналів з чисто уявними показниками вводять в розгляд експоненціальні сигнали виду exp (pt), де p - комплексне число: p = s + jw, що отримало назву комплексної частоти.

З двох таких комплексних сигналів можна скласти матеріальний сигнал, наприклад, по наступному закону:

де p * = s - jw - комплексно-сполучена величина.

Дійсно, при цьому:

Залежно від вибору і уявною частин комплексної частоти можна отримати різноманітні речові сигнали (рис. 2.17). Так, якщо s = 0, але w¹0, виходять звичайні гармонійні коливання виду Cos (wt). Якщо ж w = 0, то в залежності від знака s виходять або наростаючі, або спадні в часі експоненціальні коливання. Більш складну форму такі сигнали набувають, коли w ¹ 0. Тут множник exp (st) описує огибающую, яка експоненціально змінюється в часі.

Поняття комплексної частоти виявляється вельми корисним перш за все тому, що це дає можливість, не вдаючись до узагальнених функцій, отримувати спектральні подання сигналів, математичні моделі яких неінтегріруемих. Суттєвим є і інше міркування: експоненціальні сигнали виду (2.52) служать "природним" засобом дослідження коливань в різноманітних лінійних системах.

Слід звернути увагу на те, що справжня фізична частота w служить уявної частиною комплексної частоти. Для дійсної частини s комплексної частоти спеціального терміна не існує.