Поліном Чебишева - це

Багаточлени Чебишева першого роду Tn (x) можуть бути визначені за допомогою рекурентного співвідношення:

Багаточлени Чебишева другого роду Un (x) можуть бути визначені за допомогою рекурентного співвідношення:

явні формули

Багаточлени Чебишева є рішеннями рівняння Пелля:

в кільці многочленів з дійсними коефіцієнтами і задовольняють тотожності:

З останнього тотожності також слідують явні формули:

тригонометричне визначення

Багаточлени Чебишева першого роду Tn (x) можуть бути також визначені за допомогою рівності:

або, що майже еквівалентно,

Багаточлени Чебишева другого роду Un (x) можуть бути також визначені за допомогою рівності:

Кілька перших многочленів Чебишева першого роду

Кілька перших многочленів Чебишева другого роду

Багаточлени Чебишева мають наступні властивості:

• Ортогональность по відношенню до відповідних скалярному добутку (з вагою для многочленів першого роду і для многочленів другого роду).
• Серед всіх многочленів, значення яких на відрізку [- 1,1] не перевищують по модулю 1, многочлен Чебишева має:
  • найбільший старший коефіцієнт
  • найбільше значення в будь-якій точці
• Нулі полінома Чебишева є оптимальними вузлами в різних інтерполяційних схемах.

Питання про многочленах мінімальної норми з фіксованими коефіцієнтами при двох старших ступенях було розглянуто пізніше Золотарьовим. знайдені ним поліноми звуться многочлени Золотарьова.

• Васильєв Н. Зелевінскій А. Багаточлени Чебишева і рекурентні співвідношення. Квант. № 1, 1982.

Дивитися що таке "Поліном Чебишева" в інших словниках:

Чебишева ТЕОРЕМА - якщо функція f (х) неперервна на [а, b] і то Р п (х) тоді і тільки тоді є многочленом найкращого рівномірного наближення для функції f (x), т. Е. Коли існують п + 2 точки <х i>, утворюють чебишіевскій альтернаіс тобто задовольняють ... Математична енциклопедія

Чебишева СИСТЕМА - система лінійно незалежних функцій з простору С (Q), що володіє тим властивістю, що будь-який нетривіальний поліном по цій системі має не більше (п 1) го різного нуля. Прикладом Ч. с. в С [0. 1] є система Апроксимативні властивості до ... ... Математична енциклопедія

Наближення і інтерполяція функцій - розділ теорії функцій, присвячений вивченню питань наближеного представлення функцій. Наближення функцій знаходження для даної функції f функції g з деякого певного класу (наприклад, серед алгебраїчних ... ... Велика радянська енциклопедія

Інтерполяційний ФОРМУЛА - формула для наближеного обчислення значень функції f (x), заснованого на заміні що наближається функції f (x) більш простий в якомусь сенсі функцією наперед заданого класу, причому параметри ai, i = 0, 1. п, вибираються таким чином, щоб ... ... Математична енциклопедія

НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ - заміна за певним правилом функції f (t) .блізкой до неї в тому чи іншому сенсі функцією j (t). з заздалегідь фіксованого безлічі (наближає безлічі). Передбачається, що функція f визначена на ту безліч Qm мірного евклідового ... ... Математична енциклопедія

Ортогональних поліномів - сістемиполіномов. п = 0, 1. ортогональних з вагою на інтервалі (а, b): де квадрат норми. Подібні системи виникають в разл. завданнях матем. фізики: в теорії зображень груп, в вирахує. математики, при вирішенні Задачного власні ... ... Фізична енциклопедія

Хаара УМОВА - умова на безперервні лінійно незалежні на обмеженому замкнутому безлічі Мевклідова простору функції xk (t), k = 1. п. Сформульовано А. Хаара ([1]). X. у. гарантує для будь-якої неперервної на Мфункціі f (t) єдиність полінома ... ... Математична енциклопедія

Ортогональні многочлени - Пафнутій Львович Чебишев В математиці послідовністю ортогональних многочленів називають нескінченну послідовність дійсних многочленів ... Вікіпедія

Валле Пуссена ТЕОРЕМА - 1) В. П. т. Про розподіл простих чисел: нехай число простих чисел, менших х, тоді при виконується рівність де С недо раю позитивна постійна, а Н х інтегральний логарифм х. З В. П. т. Слід справедливість гіпотези Гаусса про ... ... Математична енциклопедія