Поле однопровідною лінії і землі

Нехай є двухпроводная лінія, складена з двох циліндричних проводів з однаковими радіусами R при відстані 2Н між центрами проводів і напругою між проводами U. При вирішенні задачі про поле двох паралельних осей в §2.12 було знайдено, що еквіпотенціальні поверхні являють собою окружності на площині, перпендикулярній осях, тобто циліндри в просторі. Завдання про поле двухпроводной лінії зводиться, таким чином, до зворотній задачі §2.12. Там було дано положення заряджених осей, а ми знаходили радіус циліндричних поверхонь R і координату центру кола (осі циліндра) х0. У цьому ж параграфі дано радіус циліндрів R і відстань між центрами кіл 2х0. позначається як 2Н і потрібно визначити місце розташування еквівалентних ниток (електричних осей проводів). Перенесення заряду з поверхні циліндрів на електричні осі проводів не змінює картину поля. Для знаходження положення електричних осей h можна скористатися формулою (2.48), замінивши в ній х0 на Н:

Потенціали проводів визначаються за формулою (2.50):

Напруга між проводами одно:

Ємність на одиницю довжини лінії без урахування впливу землі визначиться виразом:

При H >> R (справедливо для повітряних ліній) значення k прямує до нескінченності, а х0. яке в цьому параграфі позначається символом Н. прагне до h (h »H). У цьому випадку ємність матиме вигляд:

Розрахунок напруженості в довільній точці проводиться за формулою (2.51), в якій величина лінійної щільності заряду визначається з (2.56). Напруженість поля на поверхні проводів визначається виразом:

де j - кут між віссю х і радіус-вектором, проведеним з центру проводу в точку М на поверхні проводу. Найбільша напруженість буде при j = 180 °, тобто на найближчій до протилежного проводу точці поверхні.

Для розрахунку поля однопровідною лінії і землі застосуємо метод відображення. Зауважимо, що площину відображення (вісь у рис.2.11) є еквіпотенційної поверхнею. Якщо прийняти цю площину за поверхню землі, то задача зводиться до задачі про двухпроводной лінії, розглянутої вище в цьому параграфі. Нехай дана одно провідна лінія з проводом радіуса R. знаходиться під потенціалом U і на відстані Н між центром дроти і землею. Очевидно, що заряд-зображення буде мати радіус R. знаходиться під потенціалом -U. а відстань між його центром і землею одно Н. Як і розглянуто вище, перший крок полягає в знаходженні відстані від землі до електричних осей дроти (h) і його зображення. На відміну від двухпроводной лінії, де різниця потенціалів між проводами приймалася рівною U. в завданню про одиночному дроті над землею різниця потенціалів між проводом і проводом-зображенням вдвічі більше і дорівнює 2U. У зв'язку з цим ємність проводу на одиницю довжини одиночної лінії над землею вдвічі більше, ніж для двухпроводной лінії:

Максимальна напруженість також буде вдвічі більше в найближчій до землі точці дроти, тобто при j = 180 °:

Вектор напруженості скрізь нормальний поверхні землі. Визначивши в довільній точці поверхні напруженість по формулі (2.51) і враховуючи визначення електричного зміщення, можна визначити щільність наведених на поверхні землі зарядів. В (2.51) а1 = а2. b2 = p-b1. тобто другий член звертається в нуль. Позначаючи відстань між проекцією дроти на землю і шуканої точкою символом у. отримаємо: