Побудова епюр поперечних сил, згинальних моментів і вибір перетинів балок

Міністерство освіти Укаїни

Санкт-Петербурзький державний гірський інститут

імені Г.В. Плеханова

РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНА РОБОТА

З дисципліни

Опір матеріалів

Побудова епюр поперечних сил, згинальних моментів і

вибір перетинів балок

Кочетова Т.А

викладач доцент

Зарецький-Феоктистов Г. Г

Побудувати епюри Q і M для консольної балки при P1 = 20кН; М1 = 25кН · м; q1 = 10кН / м (рис.1) і підібрати діаметр балки круглого поперечного перерізу з дерева;

Побудова епюр Q і М для консольних балок можна зробити, чи не обчислюючи реакцій.

Якщо розсікти балку в будь-якому перетині і розглядати частину балки між перетином і вільним кінцем, то у виразах для Q і М увійдуть тільки прикладені до балки відомі навантаження.

Балка має три вантажних ділянки з довжинами 3,2, 4. Початок координат розташуємо в центрі ваги крайнього лівого перетину, вісь Y направимо вертикально вгору, вісь X - вправо. Розсічений балку в межах кожного вантажної ділянки перетинами, розташованими на відстанях x1. x2. х3 від початку координат.

Перша ділянка характеризується зміною абсциси x в межах 0≤x≤3.

Поперечна сила на першій ділянці постійна: Q1 = Р = 20кН.

Згинальний момент на першій ділянці

;

На другій ділянці абсциса х змінюється в межах 3≤х2 ≤5.

Тут поперечна сила Q2 = 0; вигинає момент М2 = М = 25кНм.

На третьому ділянці абсциса х змінюється в межах 5≤х3 ≤9.

Тут поперечна сила

Згинальний момент на третьому ділянці

Абсолютна величина максимального згинального моменту дорівнює 60кНм (див. Рис. 1). Тоді момент опору

Момент опору круглого поперечного перерізу відносно центральної осі

тоді необхідний діаметр балки

консольний балка поперечний вісь

Побудувати епюри Q і М для балки з дерева при q2 = 5кН / м; P2 = 10кН; M2 = 35кНм (рис.2) і підібрати розміри балки прямокутного поперечного перерізу з відношенням висоти до ширини h / b = 3;

Для визначення Q і М в будь-якому перетині балки необхідно знати всі зовнішні сили, що діють на балку, т. Е. Прикладені навантаження і опорні реакції RA та RB.

Розташуємо початок координат в центрі ваги крайнього лівого перетину, в якій точці А, вісь Y направимо вертикально вгору, а вісь Х - горизонтально вправо (по осі балки).

На шарнірно-нерухомої опори А невідому за величиною і напрямком реакцію замінимо двома складовими: RA - вертикальної, перпендикулярній осі балки, і ХА - горизонтальної, спрямованої по осі Х. На шарнірно-рухомої опори В реакція RB спрямована перпендикулярно осі балки.

Складаємо наступну систему рівнянь статики:

Вирішивши її при заданих вихідних даних, отримаємо

Для перевірки складемо ще одне рівняння статики, суму проекцій всіх сил на вісь Y

Отже, реакції визначено правильно.

Для побудови епюр Q і М необхідно визначити поперечні сили і згинальних моментів. Дана балка має два вантажних ділянки, межами яких є опорні перерізи і перетин, де прикладена зосереджена сила Р. Щоб скласти рівняння Q і М, для кожної ділянки проводимо довільні перетину на відстані х від початку координат.

В якості першого ділянки розглянемо ту частину балки, на яку діє розосереджена сила q. На ньому абсциса х змінюється в межах 0≤х1 ≤4.

Рівняння моментів має вигляд

Для уточнення виду епюри М на першій ділянці необхідно визначити екстремальне значення М в перетині, де Q = 0. Абсциса цього перетину може бути обчислена з рівняння

Підставивши це значення у вираз М1 = RA x-qx 2/2, знайдемо Мmax = 605/162 = 3,7кНм.

На другій ділянці абсциса х змінюється в межах 4≤х2 ≤9. На цій ділянці Q2 = const і Q2 = RA + P-4q = 55/9 + 10-20 = -35 / 9. Рівняння моментів на цій ділянці має вигляд

при х2 = 4м М2 = 55/9 · 4 + 4 · 5 · 2 = -140 / 9кНм;

Абсолютна величина максимального згинального моменту

Величина моменту опору

.

Момент опору прямокутника відносно нейтральної осі

;

Побудувати епюри Q і М для балки зі сталі при q2 = 5кН / м; P2 = 10кН; M2 = 35кНм (рис.3) і підібрати номер двутавра;

Визначаємо опорні реакції. Так як прикладені навантаження вертикальні, реакція ХА = 0.

Для обчислення реакції RА складаємо суму моментів всіх сил щодо точки У

Вирішуючи це рівняння щодо RA і підставляючи значення назв величин, отримаємо

Негативний знак реакції RA показує, що обраний напрям невірно і його слід змінити на протилежне.

Для обчислення реакції RB складаємо суму моментів всіх сил щодо окуляри А

Підставляючи в це рівняння вихідні дані, і вирішуючи його відносно RB. отримаємо

.

Для перевірки правильності обчислення реакцій складемо суму проекцій всіх сил на вертикальну вісь Y:

Таким чином, реакції визначені правильно.

Для визначення поперечних сил і згинальних моментів виділяємо чотири вантажних ділянки і нумеруем їх зліва направо. Для складання рівнянь Q і М необхідно в межах кожної ділянки провести довільне перетин і розглядати частину балки за одну сторону від перетину. При цьому для першого і другого ділянок простіше розглядати частину балки зліва від перетину, для третього і четвертого - праворуч від перетину. Відповідно до цього абсциссу для першого і другого ділянок будемо відраховувати від точки А, для третього і четвертого - від точки С.