перетворення подібності

Ще в Стародавній Греції виникло вчення про подібні фігури. Зокрема, в книзі «Начала» Евкліда пише про перетворення подібності.

Перетворенням подібності, або подібністю називається таке перетворення однієї фігури в іншу, при якому відстані між точками змінюються в одне і те ж число раз. Це число називається коефіцієнтом подібності. Коефіцієнт подібності позначається латинською буквою k і є позитивним числом.

Якщо коефіцієнт подібності дорівнює одиниці, то перетворення є рухом;

якщо коефіцієнт подібності менше одиниці, то відстань між точками зменшується: якщо коефіцієнт подібності більше одиниці, то відстань між точками збільшується.

Перетворення подібності має такі властивості:

- Перетворення подібності переводить прямі в прямі, промені - в промені, відрізки - у відрізки;

- Перетворення подібності зберігає кути між променя;

- Перетворення подібності переводить паралельні прямі в паралельні прямі.

Дві фігури називаються подібними, якщо одну з них можна отримати з іншого за допомогою перетворення подібності. Подібність фігур означає, що незалежно від розмірів і положення на площині ці фігури мають однакову форму.

Всі кола подібні фігурами, всі квадрати подібні фігурами.

Якщо перша фігура подібна другий фігурі з коефіцієнтом k, то друга фігура теж подібна першій фігурі, але з коефіцієнтом, зворотним числу k, - 1 / k. Одним з перетворень подібності є гомотетия.

Якщо дві подібні фігури розміщені так, що всі промені, проведені з деякою точки через точки однієї фігури, проходять через відповідні точки другої фігури, то це гомотетия.

Гомотетии з центром в точці О і коефіцієнтом k називається таке перетворення однієї фігури в іншу, при якому кожна точка Х першої фігури переходить в точку Х 'другої фігури так, що точка Х' лежить на промені, що виходить з точки О і проходить через точку Х , а відстань між точкою О і точкою Х 'дорівнює відстані між точкою О і точкою Х, помноженої на коефіцієнт гомотетии k.

Щоб побудувати відрізок, гомотетічній даному відрізку з заданим центром гомотетии і заданим коефіцієнтом гомотетии, проведіть промені з початком у центрі гомотетии, які проходять через кінці відрізка. На променя від їх початку відкладіть відрізки, довжини яких дорівнюють відповідно довжинах відрізків, що з'єднують центр гомотетии з кінцями заданого відрізка, помножених на коефіцієнт гомотетии, і з'єднують точки, отримані на променя.