Основні поняття математичної логіки - студопедія

Висловлювання (судження) - це оповідної пропозицію, в якому щось стверджується або заперечується. З приводу будь-якого висловлювання можна сказати, істинно воно або помилково. наприклад:

«Лід - твердий стан води» - справжнє висловлювання.

«Трикутник, це геометрична фігура» - справжнє виска-зиваніе.

«Париж - столиця Китаю» - хибне висловлювання.

6 <5 — ложное высказывание.

Логічні величини: поняття, висловлені словами: істи-НУ, БРЕХНЯ (true, false). Отже, істинність висловлювань виражається через логічні величини.

Логічна константа: ІСТИНА або БРЕХНЯ.

Логічна змінна: символічно позначена логічна величина. Отже, якщо відомо, що А, В, X, Y і ін. - змінні логічні величини, то це означає, що вони можуть приймати значення тільки ІСТИНА або БРЕХНЯ.

Логічний вираз - просте або складне висловлювання. Складне висловлювання будується з простих за допомогою логічес-ких операцій (зв'язок).

Логічні операції. У математичній логіці визначені п'ять основних логічних операцій: кон'юнкція, диз'юнкція, від-ріцаніе, імплікація, еквівалентність. Перші три з них з-ють повну систему операцій, внаслідок чого інші операції можуть бути виражені через них (нормалізовані). В ін-форматіке зазвичай використовуються ці три операції.

Кон'юнкція (логічне множення). в українській мові вона виражається союзом І. В математичній логіці використовуються знаки або. Кон'юнкція - двомісна операція; записується у вигляді: АВ. Значення такого виразу буде ЛОЖЬ, якщо зна-ня хоча б одного з операндів помилково.

Диз'юнкція (логічне додавання). в українській мові цієї зв-ке відповідають союз АБО. У математичній логіці вона позначення-чає знаком v. Диз'юнкція - двомісна операція; Записуючи-ється у вигляді: A v В. Значення такого виразу буде ІСТИНА якщо значення хоча б одного з операндів істинно.

Заперечення. в українській мові цій зв'язці відповідає частка НЕ ​​(в деяких висловлюваннях застосовується оборот «невірно що.»). Заперечення - унарна (одномісна) операція; запіси-ється у вигляді: А чи.

Логічна формула (логічне вираз) - формула, яка містить лише логічні величини і знаки логічних операцій. Результатом обчислення логічного формули є істи-НУ або БРЕХНЯ.

Приклад 1. Розглянемо складне висловлювання: «Число 6 ділиться на 2, і число 6 ділиться на 3». Подати цей вислів у вигляді логічної формули. Позначимо через А просте висловлювання «число 6 ділиться на 2», а через В просте висловлювання «число 6 ділиться на 3». Toгда відповідна логічна формула має вигляд: А В. Очевидно, її значення - ІСТИНА. Приклад 2. Розглянемо складне висловлювання: «Влітку я поїду в село або в туристичну поїздку».

Позначимо через А просте висловлювання «влітку я поїду Я село», а через В - просте висловлювання «влітку я поїду в туристичну поїздку». Тоді логічна форма складного висловлювання має вигляд

Приклад 3. Розглянемо висловлювання: «Невірно, що 4 ділиться на 3».

Позначимо через А просте висловлювання «4 ділиться на 3». Тоді логічна форма заперечення цього висловлювання має вигляд А

Правила виконання логічних операцій відображені в наступній таблиці, яка називається таблицею істинності.

Послідовність виконання операцій в логічних формулах визначається старшинством операцій. У порядку убування старшинства логічні операції розташовані так: заперечення, кон'юнкція, диз'юнкція. Крім того, на порядок операції впливав-ють дужки, які можна використовувати в логічних формулах.

Додатки математичної логіки в базовому курсі

Математична логіка в базах даних. При вивченні базового курсу інформатики учні вперше зустрічаються з елементами математичної логіки в темі «Бази даних» (БД). У реляційної-них БД логічними величинами є поля логічного типу. Логічний тип використовується поряд з іншими типами полів, і учні повинні навчитися виділяти його.

Перше поняття про логічну величиною можна дати як відповідь на альтернативний питання. Наприклад: «Чи є дана книга в бібліотеці?» Або «Поступив абітурієнт до університету», або «На вулиці йде дощ?» І т.п. Відповідями на такі питання можуть бути тільки «так» або «ні». Синонімами є «істина», «брехня»; «True», «false». Якщо поле таблиці буде приймати тільки такі значення, то йому призначається логічний тип.

Наприклад, реляційна база даних факультативи з-тримає відомості про відвідування учнями трьох факультативів з геології, квітникарства і танців. На реляционном мовою її струк-тура описується так:

Факультативи (УЧЕНЬ. ГЕОЛОГІЯ, ЦВЕТОВОДСТВО, ТАНЦІ)

Поля ГЕОЛОГІЯ, ЦВЕТОВОДСТВО і ТАНЦІ матимуть логічний тип. Значення ІСТИНА для кожного поля позначає, що учень відвідує даний факультатив, а брехня - не відвідують.

Логічні вирази використовуються в запитах до бази даних в якості умов пошуку. Логічні вирази поділяються на прості і складні. У простих виразах завжди використовується лише одне поле табли-ці, і не застосовуються логічні операції. У складних логічес-ких висловах використовуються логічні операції. Просте логічне вираз являє собою або ім'я поля логічес-кого типу, яке відношення (в математиці кажуть «нерівність»). Відносини для числових величин зберігають сенс математичних-чеських нерівностей; при обчисленні відносин для символьних величин враховується лексикографічний порядок; дати порівняй-ються в порядку їх календарної послідовності.

Основна проблема - навчити учнів формальному поданням умов пошуку в вигляді логічних виразів. На-приклад, від фрази «знайти всі книги, що лежать вище п'ятої полки» потрібно перейти до логічного виразу: ПОЛКА> 5; або умова «вибрати всіх невстигаючих з фізики» представити у вигляді: ФІЗИКА <3; или «выбрать все дни, когда шел дождь» ОСАДКИ = «дождь».

Особливу увагу треба звернути на використання полів логічного типу в умовах пошуку. Зазвичай до них не застосовуються відносини. Логічне поле саме несе логічне значення: «істина» або «брехня». Наприклад, умова «вибрати всіх учнів, які відвідують танці» представиться одним ім'ям логічного поля ТАНЦІ.

Складні логічні вирази містять в собі логічні операції. Розглядаються три основні операції математичної логіки: кон'юнкція (І), диз'юнкція (АБО), заперечення (НЕ).

Зазвичай при поясненні цього питання вчитель відштовхується від семантичного сенсу висловлювань російською мовою, що містять союзи І, АБО, частку НЕ. Наприклад, висловлювання: «Сьогодні буде контрольна з алгебри І з фізики» справедливо, якщо відбудуться обидві контрольні і помилково, якщо хоча б одна не відбудеться. Інше висловлювання: «Сьогодні буде контрольна з алгебри АБО з фізики» буде істинним, якщо з-будується хоча б одна контрольна робота. І, нарешті, висловлювання: «Сьогодні НЕ буде контрольної» істинно, якщо контрольна не відбудуться, т. Е. Якщо висловлювання про те, що сьогодні буде контрольна, виявляється хибним. З подібних прикладів вчитель робить висновки про правила виконання логічних опера-цій: якщо А і В - логічні величини, то вираз

• А і В істинно тільки в тому випадку, якщо істинні обидва операнда;

• А чи В хибно тільки в тому випадку, якщо помилкові обидва операнда;

• Не А змінює значення логічної величини на протипожежні-помилкове: не істина - брехня; не неправдиві - істина.