Поняття випадкової події, види подій

«Правове забезпечення національної безпеки»

Іванов А.Н. Подружкина Т.А.

Навчальний посібник розроблений відповідно до робочої програми навчальної дисципліни «Математика для юристів» і призначене для слухачів 2 курсу заочної форми навчання за спеціальністю 40.05.01 «Правове забезпечення національної безпеки».

У посібнику визначається поняття випадкової події, з'ясовуються, якими можуть бути події і які дії можна проводити над ними. Далі наводяться різні визначення ймовірності випадкової події, основні теореми теорії ймовірностей і наслідки з них. Особливу увагу приділено незалежним випробувань, пов'язаних з випадковими подіями. У посібнику дано поняття випадкової величини, розглянуті види випадкових величин. Особливу увагу приділено закону розподілу випадкової величини. Досить докладно розглянуті основні числові характеристики: їх визначення, властивості, смислове значення і формула для знаходження.

Розглянуто основні поняття математичної статистики, розповідається про теоретичні основи головного методу математичної статистики - вибіркового. Викладається суть цього методу, його основні поняття - поняття генеральної і вибіркової сукупностей. Далі визначаються основні статистики для вибіркового розподілу та наводяться формули для їх знаходження.

Дано поняття точкової оцінки та її основних властивостей. Вказані найкращі точкові оцінки для основних параметрів генеральної сукупності.
Розглянуто поняття інтервального оцінки. Далі визначено поняття статистичної гіпотези і вказані основні види гіпотез. Остання лекція
присвячена перевірці конкретних статистичних гіпотез.

При викладі матеріалу для кращого його розуміння приводиться багато прикладів з докладним рішенням. В кінці кожної теми даються контрольні питання.

В кінці посібника наведено необхідні математико-статистичні таблиці.

ГЛАВА I. МАТЕМАТИКА СЛУЧАЙНОГО

1. Поняття і види випадкових подій

Теорія ймовірностей займає особливе місце в сім'ї математичних наук. Ця наука вивчає особливого роду закони, що керують випадковими явищами.

Практично всі події і явища, які відбуваються в навколишньому світі, взаємопов'язані - одні з них є наслідком (результатом) інших і, в свою чергу, служать причиною третє. У багатьох явищах поряд з абсолютно певними наслідками зустрічаються і неоднозначні результати. Якщо перші можна передбачити точно, то другі допускають лише імовірнісні передбачення. Неоднозначність результатів, перш за все, пов'язана з випадками різного роду, які безпосередньо впливають на дане явище.

Введення в теорію ймовірностей

Думка про можливість кількісної оцінки деякої «випадковості» пройшла тривалий шлях, перш ніж перетворилася в конкретні поняття, використовувані в практичних завданнях і наукових дослідженнях.

Формування інтересу до завдань, в яких досліджується можливість оцінити появу того чи іншого випадкового події або можливість оцінити наслідки впливу деяких випадкових факторів на результат, відбувалося, перш за все, під впливом розвитку страхової справи. Однак поштовхом для того, щоб великі математики звернули увагу на приватні питання, пов'язані з різними випадковими подіями, з'явилися азартні ігри, ігри в кістки і карти. Як сказав знаменитий французький вчений С. Пуассон: «Завдання, що відноситься до азартних ігор, ... була джерелом теорії ймовірностей». Перший трактат з теорії ймовірностей був написаний Гюйгенсом в 1657 році. Він називався «Про розрахунки при азартних іграх». Уже в цій книзі вчений вказував на можливість виникнення нової науки: «... при уважному вивченні предмета Новомосковсктель помітить, що він займається не тільки грою, а що тут даються основи теорії глибокої і вельми цікавою».

Загальноприйнята сьогодні аксіоматичне визначення ймовірності було розроблено академіком А.Н. Колмогоровим. Запропонована аксіоматика поставила поняття ймовірності на строгу математичну основу, в результаті чого теорія ймовірностей остаточно оформилася як повноправна математична дисципліна.

Теорія ймовірностей або, як вона називалася раніше «математика
випадкового »- наука, що вивчає спеціальні методи для вирішення задач,
що виникають при вивченні маси випадкових явищ. Цією масою властива тенденція до стійкості, стабільності.

Відкрити закономірність в масі випадкових подій і явищ - ось
задум науки про випадковий. Теорія ймовірностей розкриває об'єктивні закономірності, притаманні масовим явищам. Її методи не дають можливості передбачити результат окремого випадкового явища, але дозволяють передбачити середній сумарний результат однорідних випадкових явищ. Отже, знаючи закони, що керують масами випадкових явищ, можна домогтися, якщо буде потреба, цілеспрямованої зміни ходу випадкових явищ, їх контролю.

Багато розділів теорії ймовірностей за останні десятиліття перетворилися в окремі галузі науки. Виникли такі дисципліни, як теорія
випадкових процесів, теорія масового обслуговування, теорія інформації, економетрика та інші.

Поняття випадкової події, види подій

Одним з основних понять теорії ймовірностей є поняття
випадкової події.

Припустимо, що при певному комплексі умов відбувається якийсь процес, який призводить до одного з декількох можливих результатів. Сам цей процес зі своїм комплексом умов будемо називати досвідом або випробуванням.

Уявімо тепер, що виробляється певний досвід або деякий
випробування, результат (або результат) якого не може бути заздалегідь передбачений. Наприклад, при кидку монети заздалегідь не можна сказати, як вона впаде: гербом або цифрою вгору. Неможливо абсолютно точно передбачити, яким буде курс долара по відношенню до рубля через 6 місяців? Всі ці приклади відносяться до області випадкових явищ. У кожному з них результат випробування заздалегідь точно непередбачуваний. Цей результат і називається випадковою подією.

Випадковою подією називається всякий результат, який в результаті
випробування може відбутися або не відбутися.

Випадкові події будемо позначати великими літерами латинського
алфавіту: А. В. С. ... і т.д.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад 1 .Нехай випробування полягає в тому, що виробляється один кидок грального кубика. Виділимо кілька подій можливих в даному
випробуванні:

А - випало не більше шести очок;

В - випало сім очок;

З - випало чотири очка;

D - випало не менше чотирьох очок;

Е - випало парне число очок;

F - випало парне число очок.

Очевидно, що в даному випробуванні (1 кидок грального кубика) подія А завжди станеться, а подія В. навпаки, статися не може.

Достовірною подією для даного випробування називається подія, яке у цьому випробуванні обов'язково станеться.

Достовірні події будемо позначати буквою U. Отже, для даного прикладу А = U.

Неможливою подією для даного випробування називається подія, яке у цьому випробуванні ніколи не станеться.

Неможливі події будемо позначати буквою # 923 ;. Отже, для даного прикладу В = # 923; .

Необхідно відзначити, що достовірним і неможливим події є саме для даного випробування. Змінивши умови випробування можна домогтися того, що ці події перетворяться в випадкові.

Події, що містять тільки один результат, називаються елементарними
(Або простими).

Події, що містять більше одного результату, називаються складними
(Або складовими).

Для прикладу 1 подія С є елементарним, а подія D - складним.

Якщо для випробування вказані всі елементарні події, які можуть в ньому статися, то говорять про те, що задано простір елементарних подій.

Простором елементарних подій для даного випробування називається сукупність всіх елементарних подій, можливих в даному випробуванні.

Елементарні події будемо позначати буквами # 969; 1, # 969; 2. ..., а простір елементарних подій буквою # 937; .

Простір елементарних подій для випробування в прикладі 1 може бути записано таким чином

де # 969; 1 - випало одне очко; # 969; 2 - випало два очка; # 969; 3 - випало три очки; # 969; 4 - випало чотири очка; # 969; 5 - випало п'ять очок; # 969; 6 - випало шість очок.

При визначенні цього простору, звичайно, передбачалося, що кубик в певному сенсі є «ідеальною фігурою», тобто неможлива ситуація, при якій кубик падає на ребро або вершину.

Повернемося до прикладу 1 і розглянемо дві пари подій С. Е і С. F. Очевидно, що при одному кидку кубика події С. Е можуть відбутися разом, а події С. F статися одночасно не можуть.

Дві події називаються спільними (або сумісними) в даному випробуванні, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої в цьому випробуванні і, несумісними (або несумісними) в даному випробуванні, якщо поява однієї з них виключає появу іншої в цьому випробуванні.

Зрозуміло, що події С і Е є спільними, а події С і F
несумісними при одному кидку грального кубика.

Спільні та несумісні події допускають відповідно наступну геометричну інтерпретацію (див. Рис. 1-2):

Це уявлення називається діаграмою Ейлера-Венна.

Діаграмами Ейлера-Венна називаються плоскі фігури, що ілюструють перетин, об'єднання і різницю кінцевого числа множин.

Події А1. А2. ..., Аn утворюють повну групу подій для даного
випробування, якщо вони несумісні і в результаті випробування одне з цих подій обов'язково відбудеться.

Повернемося до прикладу 1 і розглянемо події Е - випадання парного числа очок і F - випадання непарного числа очок при одному кидку грального кубика. Ясно, що, по-перше, в результаті випробування одне з цих подій обов'язково відбудеться, по-друге, ці події несумісні в даному
випробуванні. Такі події називаються протилежними.

Дві події називаються протилежними в даному випробуванні, якщо в цьому випробуванні вони несумісні і одне з них в результаті випробування обов'язково станеться.

Подія, протилежне даній події, будемо позначати тієї ж буквою з межею вгорі.

Очевидно, що в прикладі 11 події Е і F є протилежними, отже, або.

Отже, в загальному випадку, протилежне подія # 256; доповнює подія А до повної групи або до простору елементарних подій. що відображено на рис. 3:

Зауважимо, що достовірне і неможливе події в одному випробуванні є протилежними подіями. Крім цього, очевидно, що протилежні події А і # 256; утворюють повну групу несумісних для даного випробування подій.

Події називаються рівноможливими в даному випробуванні, якщо за умовою випробування жодне з них не має об'єктивно велику можливість появи, ніж інші.

З випадковими подіями можна проводити деякі арифметичні дії, які визначають так звану алгебру подій.

Нехай є кілька випадкових подій. Тоді з них можна будувати нові випадкові події, використовуючи логічні зв'язки «АБО» і «І», яким в теорії множин відповідають операції об'єднання і перетину.
У теорії ймовірностей ці операції називаються складанням і множенням, а результати цих операцій - сумою і твором подій.

Розглянемо наступний приклад. Нехай проводиться стрільба двох стрільців (кожен робить по одному пострілу). Подія А означає, що потрапив в ціль перший стрілок, подія В - влучив у ціль другий стрілок. Введемо в розгляд ще дві події:

З - влучив у ціль хоча б один стрілець;

D - потрапили в ціль обидва стрілка.

Неважко зрозуміти, що подія С настане тоді, коли відбудеться або одна з подій А або В. або обидві ці події разом. Подія D відбудеться тільки тоді, коли настане і подія А і подія В.

Сумою подій А і В називається така подія С = А + В. яке відбувається тоді, коли відбулося принаймні одна з подій А або В.

За визначенням сума подій складається з усіх можливих результатів подій А і В. тому сума випадкових подій геометрично відповідає об'єднанню множин, які визначають події А і В. що показано на рис. 4

Затвердження 1. Сума двох протилежних подій для даного випробування є достовірною подією, тобто А + # 256; = U.

Сума подій може складатися не з двох, а з більшого числа доданків. Тоді сумою кінцевого числа подій А1. А2. ..., Аn називається подія яке відбувається тоді, коли відбулося хоча б одне з подій А1. А2. ..., Аn.

Твором подій А і В називається така подія D = А · В. яке відбувається тоді і тільки тоді, коли відбулося і подія А і подія В.

За визначенням твір складається тільки з тих подій, які є і в А і в В. таким чином геометрично твір визначає перетин множин (рис. 5):

Затвердження 2. Для несумісних подій А і В їхній колективний витвір є порожня множина.

Слідство .Проізведеніе протилежних подій є порожнім безліччю, тобто А · # 256; = # 923; .

Твір подій, також як і сума подій може складатися не з двох, а з кінцевого числа співмножників.

Твором кінцевого числа випадкових подій А1. А2. ..., Аn називається випадкова подія, що відбувається тоді й тільки тоді, коли відбулися всі події А1. А2. ..., Аn.

Для вирішення завдань буває корисно використовувати такі прості співвідношення: А чи В <=> А + В; А та В <=> А · В.

Використовуючи операції додавання і множення, можна складні (складені) події розкласти на менш складні або прості події, що буде істотно спрощувати розв'язок задачі.

Крім суми і твори існує поняття різниці подій.

Різницею подій А і В називається подія А \ В. яке відбувається
тоді, коли відбулася подія А і не відбулася подія В.

Для випадкової події можна вказати деяку величину, що характеризує можливість появи цієї події - його ймовірність.