Основні поняття елементарної теорії ймовірностей

1.2. Основні поняття елементарної теорії ймовірностей

Предмет теорії ймовірностей. Статистична стійкість.

Теорія ймовірностей вивчає закономірності, що виникають в випадкових експериментах (явища). Випадковим називають експеримент, результат якого не можна передбачити заздалегідь. Неможливість передбачити заздалегідь # 151; основне, що відрізняє випадкове явище від детермінованого.

Не всі випадкові явища (експерименти) можна вивчати методами теорії ймовірностей, а лише ті, які можуть бути відтворені в одних і тих же умовах і мають (незрозуміло як перевіряється заздалегідь :-)) властивістю «статистичної стійкості»: якщо # 151; деяка подія, що може відбутися або не відбутися в результаті експерименту, то частка числа експериментів, в яких дана подія відбулася, має тенденцію стабілізуватися з ростом загального числа експериментів, наближаючись до деякого числа. Це число служить об'єктивною характеристикою «ступеня можливості» події статися.

Надалі все випадкові експерименти, про які ми будемо говорити, будуть мати властивість статистичної стійкості, що ми врешті-решт і доведемо в твердженні, відомому як закон великих чисел Я. Бернуллі.

Простір елементарних фіналів. Операції над подіями

Простором елементарних фіналів ( «омега») називається множина, що містить всі можливі результати даного випадкового експерименту, з яких в експерименті відбувається рівно один. Елементи цієї множини називають елементарними наслідками і позначають буквою ( «омега») з індексами або без.

Подіями ми будемо називати підмножини множини. Кажуть, що в результаті експерименту відбулася подія, якщо в експерименті стався один з елементарних фіналів, що входять в безліч.

Взагалі кажучи, можна назвати подіями не обов'язково все підмножини множини, а лише безлічі з деякого набору підмножин. Про сенсі такого обмеження ми поговоримо пізніше.

Один раз підкидається одна гральна кістка (кубик). Самий розумний спосіб задати простір елементарних фіналів такий:, елементарні результати тут відповідають числу очок, що випали.

Приклади подій: # 151; випало одне або два очки; # 151; випало парне число очок.

Два рази підкидається одна гральна кістка (кубик). Або, що те ж саме, один раз підкидаються дві гральні кістки. Як ми побачимо надалі, тут самий розумний спосіб задати простір елементарних фіналів # 151; вважати результатом експерименту впорядковану пару чисел, в якій і () є число очок, що випали при першому (другому) підкиданні:

# 151; при першому підкиданні випало одне очко;

# 151; при двох підкидання випало однакове число очок.

На поверхню столу кидається монета. Результатом експерименту можна вважати координату центру монети (а якщо нам не байдужий кут повороту монети, то можна додати і величину цього кута). Простір елементарних фіналів # 151; безліч точок столу (в другому випадку # 151; безліч пар, де # 151; точка столу і # 151; кут повороту). Число елементарних фіналів такого експерименту незліченно.

Монета підкидається до тих пір, поки не випаде вгору гербом. Простір елементарних фіналів складається з нескінченного, але рахункового числа випадків:, де р і r позначають випадання решки і герба при одному підкиданні, відповідно.

1.Достоверним називається подія, яке обов'язково відбувається в результаті експерименту, тобто єдина подія, що включає всі без винятку елементарні результати # 151; подія. 2.Невозможним називається подія, яка не може статися в результаті експерименту, тобто подія, що не містить жодного елементарного результату ( «порожня множина»). Зауважимо, що завжди.

нехай і # 151; події. 1.Об'едіненіем подій і називається подія, яке у тому, що сталося або, або, або обидві події одночасно. Мовою теорії множин є безліч, що містить як елементарні результати, що входять до, так і елементарні результати, що входять в. 2.Пересеченіем подій і називається подія, яке у тому, що відбулися обидві події і одночасно. Тобто є безліч, що містить елементарні результати, які входять одночасно в і в. 3.Дополненіем події до називається подія, яке у тому, що сталося подія, але не відбулося. Тобто є безліч, що містить елементарні результати, що входять до, але не входять в. 4.Протівоположним (або додатковим) до події називається подія, яке у тому, що подія в результаті експерименту не відбулося. Інакше кажучи, є безліч, що містить елементарні результати, що не входять в.

Визначення 5.
1. Події і називаються несумісними. якщо. 2. Події називаються попарно несумісними. якщо для будь-яких,, події і несумісні. 3. Кажуть, що подія тягне подія, і пишуть, якщо завжди, як тільки відбувається подія, відбувається і подія. Мовою теорії множин це означає, що будь-який елементарний результат, що входить в, одночасно входить і в подія.

Імовірність на дискретній просторі елементарних фіналів

Припустимо, що ми маємо справу з дискретним простором елементарних фіналів, тобто простором, що складається з кінцевого або рахункового числа елементів:

Поставимо кожному елементарному результату у відповідність число так, що

Назвемо число ймовірністю елементарного результату. Ймовірністю події називається число

яка дорівнює загальній кількості ймовірностей елементарних фіналів, що входять в безліч.

Пізніше, познайомившись з аксіоматикою теорії ймовірностей, ми поставимо ймовірності подій безпосередньо, а не через ймовірності елементарних фіналів. Тим більше, що складанням ймовірностей елементарних фіналів можна отримати лише ймовірність події, що складається не більше ніж з рахункового числа елементарних фіналів (інакше саме поняття підсумовування не визначене). Але на дискретній просторі елементарних фіналів визначити ймовірності подій так, як це зроблено в визначенні 6. завжди можливо.

Перерахуємо очевидні в разі дискретного простору елементарних фіналів властивості ймовірності. які ми скоро доведемо відразу в загальному випадку.

5. якщо і несумісні, то;

6. в загальному ж випадку;

Довести перераховані вище властивості, користуючись визначенням 6.

Як видно, ймовірністю може бути названа абсолютно абстрактна функція, яка задовольнить декільком необтяжливим вимогам. Однак про необхідність «відповідності теорії практиці» теж треба подумати.

Класичне визначення ймовірності

Припустимо, що ми маємо справу з простором елементарних фіналів, що складається з кінцевого числа елементів:

Більш того, припустимо, що з будь-яких міркувань ми можемо вважати елементарні результати рівноможливими. Тоді ймовірність будь-якого з них приймається рівною.

Ці міркування найчастіше не мають відношення до математичної моделі і засновані на будь-якої симетрії в експерименті (симетрична монета, добре перемішана колода карт, правильна кістка). Або ми можемо заздалегідь вважати результати експерименту рівноможливими, але тоді рано чи пізно все одно виникне питання про відповідність такої математичної моделі реального експерименту.

Якщо подія складається з елементарних фіналів, то ймовірність цієї події дорівнює відношенню:

де символом позначено число елементів кінцевого безлічі.

Кажуть, що експеримент задовольняє класичним визначенням ймовірності (або класичної імовірнісної схемою), якщо простір елементарних фіналів складається з кінцевого числа рівно можливих випадків.

У цьому випадку ймовірність будь-якої події обчислюється за формулою

званої класичним визначенням ймовірності. Ця формула Новомосковскется так: «ймовірність події дорівнює відношенню числа випадків, що сприяють події, до загальної кількості випадків».

Корисно пам'ятати класичну формулювання Якоба Бернуллі (Jacob Bernoulli).
«Імовірність є ступінь достовірності і відрізняється від неї як частина від цілого»

( «Ars Conjectandi». 1713 г.)

Ми бачимо тепер, що підрахунок ймовірності в класичній схемі зводиться до підрахунку числа «шансів» (елементарних фіналів), що сприяють якої-небудь події, і загального числа шансів. Як правило, це робиться за допомогою формул комбінаторики.

Розглянемо описані в параграфі 1.1.2 Урнов схеми. Нагадаємо, що мова йде про видаляння кульок з урни, що містить кульок. При цьому три схеми: з поверненням і з урахуванням порядку, без повернення і з урахуванням порядку, а також без повернення і без урахування порядку задовольняють класичним визначенням ймовірності. Загальна кількість елементарних фіналів в цих схемах підраховано в теоремах 4. 2. 3 і так само, відповідно,,,.

Четверта ж схема # 151; схема вибору з поверненням і без урахування порядку # 151; має свідомо неравновозможние результати.

Розглянемо, скажімо, вибір двох кульок з двох або, що те ж саме, двічі підкинемо монету. Якщо враховувати порядок, то результатів вийде 4, і всі вони рівноможливими, тобто мають можливість по 1/4:

(Герб, герб), (решка, решка), (решка, герб), (герб, решка).

Якщо порядок не враховувати, то слід оголосити два останніх результату одним і тим же результатом експерименту, і отримати три результату замість чотирьох: випало

два герба. або дві решки. або один герб і одна решка.

При цьому перші два результати мають ймовірність 1/4, а останній # 151; ймовірність 1/4 + 1/4 = 1/2.

Порахувати кількість елементарних фіналів в прикладі 2 (при підкиданні двох гральних кісток). Яким стане простір елементарних фіналів, якщо порядок кісток не враховувати? Порахувати кількість елементарних фіналів в такому просторі (користуючись теоремою 5 або прямим підрахунком). Переконатися, що їх рівно. Рівноможливими ці результати? Порахувати ймовірність кожного результату.

гіпергеометричний розподіл

Завдання. З урни, в якій білих і чорних куль, навмання, без повернення виймають куль,. Термін «навмання» означає, що поява будь-якого набору з куль рівно можливих. Знайти ймовірність того, що буде вибрано рівно білих і чорних куль.

Рішення. Зауважимо, що при або шукана ймовірність дорівнює 0, так як відповідна подія неможливо. Нехай і.

Результатом експерименту є набір з куль. При цьому можна не враховувати або враховувати порядок проходження куль.

1. Вибір без урахування порядку. Загальна кількість елементарних фіналів є число -елементних підмножин безлічі, що складається з елементів, тобто (по теоремі 3).

Позначимо через подію, ймовірність якого потрібно знайти. Події сприяє поява будь-якого набору, що містить білих куль і чорних. Число сприятливих результатів дорівнює добутку (по теоремі 1) числа способів вибрати білих куль з і числа способів вибрати чорних куль з:. Імовірність події дорівнює

2. Вибір з урахуванням порядку. Загальна кількість елементарних фіналів є число способів розмістити елементів на місцях: (по теоремі 2).

При підрахунку числа сприятливих результатів потрібно врахувати як число способів вибрати потрібну кількість куль, так і число способів розташувати ці кулі серед. Можна, скажімо, порахувати число способів вибрати місць серед (рівне), потім число способів розмістити на цих місцях білих куль (рівне # 151; не забувайте про облік порядку!), і потім число способів розмістити на що залишилися місцях чорних куль (рівне). Перемноживши (чому?) Ці числа, отримаємо

У розглянутій задачі ми зіставили кожного набору з білих і чорних куль ймовірність отримати цей набір при виборі куль з урни, що містить білих і чорних куль:

Відповідність, або наступний набір ймовірностей

називається Гіпергеометричний розподіл.