Основні елементи трикутника abc

Вершини - точки A, B, і C;

Сторони - відрізки a = BC, b = AC і c = AB, що з'єднують вершини;

Кути - α. β, γ утворені трьома парами сторін. Кути часто позначають так само, як і вершини, - буквами A, B і C.

Кут, утворений сторонами трикутника і що лежить в його внутрішньої області, називається внутрішнім кутом, а суміжний до нього є суміжним кутом трикутника (2, стор. 534).

Висоти, медіани, бісектриси і середні лінії трикутника

Крім основних елементів в трикутнику розглядають і інші відрізки, які мають цікаві властивості: висоти, медіани, бісектриси і середні лінії.

Висоти трикутника - це перпендикуляри, опущені з вершин трикутника на протилежні сторони.

Для побудови висоти необхідно виконати наступні дії:

1) провести пряму, яка містить одну зі сторін трикутника (в разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупоугольного трикутнику);

2) з вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, провести відрізок з точки до цієї прямої, що становить з нею кут 90 градусів.

Точка перетину висоти зі стороною трикутника називається підставою висоти (див. Рис. 2).

Властивості висот трикутника

У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібні вихідного трикутника.

У гострокутна трикутнику дві його висоти відсікають від нього подібні трикутники.

Якщо трикутник гострокутний, то всі підстави висот належать сторонам трикутника, а у тупоугольного трикутника дві висоти потрапляють на продовження сторін.

Три висоти в гострокутна трикутнику перетинаються в одній точці і цю точку називають ортоцентром трикутника.

Медіани (від лат. Mediana - «середня») - це відрізки, що з'єднують вершини трикутника з серединами протилежних сторін (див. Рис. 3).

Для побудови медіани необхідно виконати наступні дії:

1) знайти середину боку;

2) з'єднати точку, яка є серединою сторони трикутника, з протилежною вершиною відрізком.

Властивості медіан трикутника

Медіана розбиває трикутник на два трикутника однакової площі.

Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них по відношенню до 2: 1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром ваги трикутника.

Весь трикутник розділяється своїми медианами на шість рівновеликих трикутників.

бісектриса

Биссектрисами (від лат. Bis - двічі »і seko - розсікають) називають укладені всередині трикутника відрізки прямих, які ділять навпіл його кути (див. Рис. 4).

Для побудови бісектриси необхідно виконати наступні дії:

1) побудувати промінь, що виходить з вершини кута і ділить його на дві рівні частини (бісектрису кута);

2) знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною;

3) виділити відрізок, що з'єднує вершину трикутника з точкою перетину на протилежному боці.

Властивості биссектрис трикутника

Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону щодо, рівному відношенню двох прилеглих сторін.

Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Це точка називається центром вписаного кола.

Бісектриси внутрішнього і зовнішнього кутів перпендикулярні.

Якщо бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає продовження противолежащей боку, то ADBD = ACBC.

Бісектриси одного внутрішнього і двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка - центр однієї з трьох вневпісанних кіл цього трикутника.

Підстави биссектрис двох внутрішніх і одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не паралельна протилежній стороні трикутника.

Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх підстави лежать на одній прямій.