Основи теорії ймовірностей, випробування і події, основні поняття і визначення - математична

Основним завданням математичної статистики є опис і пояснення ймовірнісної поведінки об'єктів досліджень Математична статистика вирішує цю задачу вивченням генеральної сукупності за допомогою вибіркової сукупності - вибірки Досліджуючи ту чи іншу вибірку, мають на увазі її випадкову (ймовірнісну) природу, тобто вибірку розглядають як сукупність випадкових значень характеризує певні властивості генеральної сукупності Для отримання випадкових значень організують випробування (іспити, спостереження і т.п.) при певних (відомих) умовах Отже, оцінюючи генеральну сукупність за допомогою вибірки по її ймовірними властивостями, ми постійно маємо справу з сукупністю придбаних зн визначається випадкових подій отриманих в результаті випробувань

З огляду на, що властивості випадкових подій вивчає теорія ймовірностей, яка вважається теоретичною базою статистичних досліджень, розглянемо основні поняття і закономірності цієї галузі математичних їх знання.

Нагадаємо, що сукупність отриманих у випробуваннях емпіричних значень випадкової величини також називають вибіркою, яка підлягає статистичної обробці Слово "емпірична" означає те, що статистичні обчислення проводяться за даними випробувань (дослідів або спостережень) З цієї ж причини для поняття "сукупність вибіркових значень" використовують термін "вибіркова функція" розподілу Наприклад, в результаті повторних вимірів деякої величини отримано п значень: х / елічіні оТРИМАНО п значень: х /, х2. хп Ці значення природно вважати реалізацією набору сп незалежних однаково розподілених випадкових величин з невідомим функцією розподілу Р (х) властивості якої необхідно визначити, знайти

Щоб оцінки були достовірними, вибірка повинна бути представницької (репрезентативною) її імовірнісні властивості повинні збігатися або бути близькими до властивостей генеральної сукупності Це можна досягти і, якщо гарантувати всім об'єктам генеральної сукупності однакову ймовірність потрапити в виборкуку.

31 ВИПРОБУВАННЯ ТА ПОДІЇ

Основні поняття і визначення

З точки зору теорії ймовірностей дослідження властивостей генеральної сукупності шляхом вивчення властивостей вибірки виконують за допомогою моделювання ситуації випадкових подій, отриманих в результаті випробувань

Випробування - це здійснення певних дій або умов, які можна відновити довільне число раз (наприклад, виконання студентами або учнями тесту)

Елементарна подія (ю) - можливий результат випробування (наприклад, результат виконання одного завдання: "виконано" - "не виконано", "1" - "0") Поняття елементарної події відноситься до основних понять теорії ймовірностей і не визначається через інші прості поняття візначається через інші простіші Поняття.

Сформулюємо спочатку основні поняття алгебри подій, пов'язаних з випробуваннями, на описовому рівні

Сукупність усіх можливих елементарних подій а1. А2. соп утворює простір елементарних подій ео) Запис в дужках Новомосковскется: "Елементи ю відносяться до простору О" Надалі вважати, що простір елементарних подій Про є величина закінчена

Випадкової подією А називається всякий результат випробування, може відбутися або не відбутися випадкової може бути як елементарні події (наприклад, результат виконання студентом одного завдання), так і совокупностью1, А2. сот з простору подій аь а2. соп (наприклад, виконання несколькіхт завдань по п запропонованих, де т п) Для випадкової події А можна записати А (ю є А), тобто елементи ю відносяться до події А В свою чергу подія А (А ЩО) належить до простору подій Про

Вірогідним є подія V, яка у випробуванні неодмінно повинна відбутися

Неможливою називається подія V, яка у випробуванні не може відбутися

СобитіеА називається протилежним події А, якщо він полягає в неявки події А

Твором А - В подій А і В називається подія С, що полягає в спільному появу і події А, і події В, тобто С = А - В

Суммойа + В подійПро верб називається подія с, що полягає в появі хоча б однієї з подій а чи В є С = а + В.

Події називаються незалежними, якщо настання одного ніяк не впливає появи іншої, інакше вони є залежними

Події є несумісними якщо в результаті випробувань вони не можуть відбутися одночасно інакше вони вважаються сумісними Ніякі дві несумісні події не можуть відбутися разом

повною групою подій називається така сукупність попарно несумісних подій, для якої їх сума є достовірною подією Про Інакше кажучи, в результаті випробувань для повної групи кількох подій неодмінно повинна відбутися х хоча б одна з них.

Отже, першим кроком при побудові імовірнісної моделі реального явища є виділення в випробуваннях можливих якості елементарних, так і складних випадкових подій визначення їх властивостей (залежні - незалежні, сумісні - несумісні і тп), а також можливих результатів операцій над подіями (суми, твори, доповнення та ін.) Однак, представлений вище понятійний і апарат алгебри подій на описовому рівні не здатний до кількісної оцінки цих подій, а, значить, не дає коректної можливості в побудові ймовірності ки моделей об'єктів реальностіості.

Прийнятий в сучасній математичній науці аксіоматичний підхід до теорії ймовірностей, розробником якого був Андрій Миколайович Колмогоров (1903-1987), базується на теорії множин І хоча основи теорії йм мовірностей був сформований раніше (ХУН-ХУШ ст), ніж створена теорія множин (в основному в XX в), остання дає можливість розглядати теорію ймовірностей і математичну статистику як невід'ємну частину математики, проводити докази, доводити теореми, формулювати визначення на рівні математичної строгості Про ллюстріруем основні операції над подіями за допомогою математичного апарату теорії умножаютожін.

Увага даний підручник має низьку якість розпізнавання