Основи фінансових обчислень від компанії nexus
Жоден розумний інвестор не стане вкладати гроші в невідомість. Важливо вміти оцінити можливі ризики і потенційну вигоду від вкладення. Нижче наведені основні поняття, необхідні для кількісного опису інвестиційного процесу.
Відсотки, прості і складні
Відсоток - це дохід у грошовій формі, що виплачується кредитору за користування його грошима. Відсоток нараховується на основну суму вкладу (позики) за певною відсотковою ставкою з певною періодичністю (наприклад, щорічно або щоквартально). Відсоток буває простим і складним.
Розглянемо вкладення 1 000 EUR на рахунок в банку строком на 5 років при ставці 12% річних. Якщо по закінченні кожного року власник знімає виплачується дохід за вкладом, результати інвестування будуть наступними:
В результаті інвестування протягом 5 років отримано 120 x 5 = 600 EUR понад початкової суми вкладу.
Таким чином, загальна сума коштів в кінці п'ятого року складе 1 600 EUR.
Тобто, простий відсоток нараховується виходячи із ставки відсотка і вихідної суми незалежно від накопиченого доходу. Така схема відповідає випадку, коли дохід від вкладу періодично виплачується позичальником і тут же вилучається кредитором.
Розглянемо вкладення 1 000 EUR на банківський депозит терміном на 5 років при тій же ставці 12% річних, але за умови, що власник не знімає в кінці кожного року отримані доходи, а залишає їх на рахунку з метою реінвестування по тій же процентній ставці (12 %):
Після закінчення п'яти років інвестор отримає крім основної суми вкладу ще 762,3 EUR.
Загальна сума коштів в кінці п'ятого року складе 1 762,3 EUR.
Складний відсоток нараховується виходячи із ставки відсотка і суми, накопиченої на рахунку на початок чергового періоду з урахуванням накопиченого доходу. Така схема відповідає випадку, коли дохід від вкладу періодично виплачується позичальником, але не вилучається кредитором, а залишається у позичальника, збільшуючи суму позики.
Таким чином, якщо порівнювати умови без інвестування накопиченого доходу (простий відсоток) і з урахуванням інвестування накопиченого доходу (складний відсоток), то чистий результат за другою схемою перевершує результати по першій на 162,3 EUR. Це сталося через постійне реінвестування отриманого доходу. Кредитор в такому випадку піддається більшому ризику, відповідно отримує і більшу винагороду.
Зміна вартості грошей в часі
При розміщенні вільних коштів в різні цінні папери інвестор прагне отримати максимальну вигоду. Виходячи з припущення абсолютної надійності всіх способів інвестування для того, щоб оптимальним чином вибрати спосіб інвестування, необхідно порівняти отримані доходи. Однак доходи можуть надходити в різний час. Таким чином, різні способи інвестування призводять до різними графіками отримання грошей.
У наведеному вище Прімері №1 загальна сума коштів в кінці п'ятого року інвестування становить 1 600 EUR. Ця сума називається майбутньою вартістю грошей (1 000 EUR), які
- інвестовані на 5 років;
- за ставкою 12%, що нараховуються щорічно;
- без реінвестування (дохід в 12% вилучається в кінці кожного року).
У свою чергу, початкові інвестиції в розмірі 1 000 EUR називаються поточною вартістю грошей (1 600 EUR), які
- будуть отримані через 5 років;
- виходячи із ставки 12%, що нараховуються щорічно;
- без реінвестування (дохід в 12% вилучається в кінці кожного року).
Відповідно, в Прімері №2 загальна сума коштів в кінці п'ятого року інвестування становить 1 762,3 EUR. Ця сума називається майбутньою вартістю грошей (1 000 EUR), які
- інвестовані на 5 років;
- за ставкою 12%, що нараховуються щорічно;
- за умови реінвестування (дохід в 12% не вилучається щорічно, а додається до суми первісної інвестиції).
У свою чергу, початкові інвестиції в розмірі 1 000 EUR називаються поточною вартістю грошей (1 762,3 EUR), які
- будуть отримані через 5 років;
- виходячи із ставки 12%, що нараховуються щорічно;
- за умови реінвестування (дохід в 12% не вилучається щорічно, а додається до суми первісної інвестиції).
Тепер виведемо формули розрахунку майбутньої вартості грошей, інвестованих на певний термін під певний відсоток без реінвестування і з реинвестированием:
Без реінвестування, простий відсоток Формула №1:
З реинвестированием, складний відсоток Формула №2:
FV (Future Value) - майбутня вартість грошей;
PV (Present Value) - поточна вартість (первісна вартість на момент інвестування = основна сума вкладу при первісному інвестуванні);
r - ставка відсотка за період нарахування, виражена в частках одиниці (якщо в наших прикладах ставка дорівнює 12% річних, то значення r становить 0,12);
n - число періодів нарахування.
Тепер можна підставити відомі нам значення в ці формули і набагато швидше розрахувати майбутню вартість загальної суми коштів для наших двох прикладів:
r = 0,12 (12% річних)
Приклад №1 - без реінвестування, простий відсоток:
FV = 1 000 x (1 + 5 x 0,12) = 1 600 EUR
Приклад №2 - з реинвестированием, складний відсоток:
FV = 1 000 x (1 + 0,12) 5 = 1 762,3 EUR
У разі одного періоду (n = 1), обчислені по обидва формулами значення повністю збігаються, так як в разі одного тимчасового інтервалу (в наших прикладах це 1 рік) реінвестування по суті не відбувається і умови запозичення по простому і складному відсотку виходять однаковими.
Природним способом порівнювати грошові надходження в різні терміни є приведення їх до одного і того ж моменту часу. Як правило, в якості такого моменту вибирають або момент початку інвестицій, або деякий фіксований момент в майбутньому. Відповідно, приведення грошових потоків до певного моменту в майбутньому називається нарощенням, а до початкового моменту - дисконтированием.
Розрахунок майбутньої вартості грошей з реинвестированием при використанні формули складного відсотка називається нарощенням (компаундированием). а вираз (1 + r) n називається коефіцієнтом нарощення - ksФормула №3:
Розрахунок, зворотний нарощення, називається дисконтуванням. При дисконтуванні ми можемо дізнатися, скільки зараз (в момент розрахунку) стоїть відома в майбутньому вартість грошей Формула №4:
Величина, зворотна коефіцієнту нарощення, називається коефіцієнтом дисконтування - kdФормула №5:
Розрахунок річних ставок відсотка
Загальноприйнятим стандартом вираження прибутковості інвестицій вважається прибутковість у відсотках річних. Однак іноді процентні ставки прибутковості можуть зазначатися за різні періоди часу: в днях, тижнях, місяцях, кварталах.
У такому випадку для обчислення річного відсотка використовують спеціальні формули:
Якщо дохід нараховується методом простого відсотка, то на одиницю вкладень річна процентна ставка (rгодовая), виражена в частках одиниці, розраховується наступним чином Формула №6:
r - ставка в частках одиниці;
n - число періодів в році.
За банківським вкладом щоквартально нараховують 3% від початкової суми вкладу без реінвестування. Знайти річну ставку відсотка:
rгодовая = r x n = 0,03 x 4 кварталу на рік = 0,12 (12% річних)
За банківським вкладом щомісяця нараховують 1,5% від початкової суми вкладу без реінвестування. Знайти річну ставку відсотка:
rгодовая = r x n = 0,015 x 12 місяців в році = 0,18 (18% річних)
Якщо дохід нараховується методом складного відсотка, то на одиницю вкладень річна процентна ставка (rгодовая), виражена в частках одиниці, розраховується наступним чином Формула №7:
r - ставка в частках одиниці;
n - число періодів в році.
За банківським вкладом щоквартально нараховують дохід 3% від початкової суми вкладу з реинвестированием отриманого доходу. Знайти річну ставку відсотка:
rгодовая = (1 + 0,03) 4 - 1 = 0,1255 (12,55% річних)
За банківським вкладом щомісяця нараховують дохід 1,5% від початкової суми вкладу з реинвестированием отриманого доходу. Знайти річну ставку відсотка:
rгодовая = (1 + 0,015) 12 - 1 = 0,1956 (19,56% річних)
Порівнюючи результат підрахунків, можна ще раз переконатися, що за інших рівних умов річна процентна ставка з урахуванням реінвестування завжди вище.
Якщо прибутковість вказана в прив'язці до стандартного періоду (наприклад: 0,1% в день; 0,5% в тиждень; 1,5% в місяць або 3% в квартал), то особливих складнощів з обчисленням річної ставки відсотка не виникає.
Однак іноді цей показник може бути вказана в прив'язці до нестандартного періоду, наприклад: "вклад у банку дає 1,5% за 20 днів". У такому випадку процес обчислення річної процентної ставки трохи ускладнюється і насамперед нам потрібно буде обчислити значення n (число періодів в році):
Якщо період інвестування виражений в днях. то число періодів в році:
де X- кількість днів.
Якщо період інвестування виражений в тижнях. то число періодів в році:
де X- кількість тижнів.
Якщо період інвестування виражений в місяцях. то число періодів в році:
де X- кількість місяців.
Якщо період інвестування виражений в кварталах. то число періодів в році:
де X- кількість кварталів.
Вклад у банку дає 1,5% за 20 днів.
Знайти річну ставку відсотка (простого, без реінвестування).
Спочатку обчислюємо значення n:
n = 365/20 = 18,25
Тобто, в році у нас виходить 18,25 "20-денних періодів".
Тепер можна розрахувати річну ставку відсотка по Формулі №6:
rгодовая = 0,015x18,25 = 0,2738 (27,38% річних)
Вклад у банку дає 4% за 1,5 місяці. Знайти річну ставку відсотка (складного, з реинвестированием).
Спочатку обчислюємо значення n:
Тобто, в році у нас виходить 8 "півторамісячних періодів".
Тепер можна розрахувати річну ставку відсотка по Формулі №7:
rгодовая = (1 + 0,04) 8 - 1 = 0,685 (36,85% річних)
Приведення процентних ставок до одного тимчасового періоду
Очевидно, що при однакових умовах (однаковий термін, простий або складний відсоток) вигідніше та інвестиція, у якій вище процентна ставка. Однак найчастіше терміни інвестицій та періоди виплат по ним не збігаються. У цьому випадку для того, щоб порівнювати різні інвестиції, необхідно розраховувати їх процентні ставки, наведені до одного і того ж тимчасового періоду. Як правило, в якості такого періоду вибирається рік.
Порівняти, якій з банківських вкладів вигідніше (у відсотках річних):
Внесок №1 під 1,5% на місяць; або
Внесок №2 під 10% за півроку.
Обчислення ставки в річному обчисленні можна проводити за формулою простого або складного відсотка.
Розрахуємо спочатку за формулою простого відсотка:
Обчислюємо, який дохід в процентному вираженні за місяць в другому випадку, і порівнюємо з уже даними показником в першому випадку: ділимо 10% на кількість місяців в зазначеному періоді (півроку):
Тепер підрахуємо ставку у відсотках річних для обох випадків по Формулі №6:
Внесок №1: rгодовая = 0,015x12 = 0,18 (18% річних).
Внесок №2: rгодовая = 0,0167x12 = 0,20 (20% річних).
Таким чином, якщо дохід нараховується за формулою простого відсотка, то Внесок №2, виражений у відсотках річних, вигідніше Вкладу №1.
Якщо ж дохід нараховується за формулою складного відсотка, то ставка у відсотках річних розраховується по Формулі №7:
Внесок №1: rгодовая = (1 + 0,015) 12 - 1 = 0,1956 (19,56% річних).
Внесок №2: rгодовая = (1 + 0,1) 21 = 0,21 (21% річних).
(У другому випадку r = 0,1 оскільки процентна ставка за один період нарахування (півроку) дорівнює 10%, а число періодів n = 2. оскільки в році у нас є два піврічні періоди і відсотки нараховуються двічі на рік).
Як бачимо, і в цьому випадку Внесок №2 виявився більш вигідний, ніж Внесок №1.
Якщо нам відомі поточна вартість інвестицій (PV), майбутня вартість інвестицій (FV), а також число періодів (n) - тобто кількість років, то можна вивести формулу підрахунку річного відсотка.
Перш за все, виведемо з уже відомих нам формул розрахунку простого і складного відсотка ставку відсотка, виражену в частках одиниці:
Відсоткова ставка без обліку реінвестування виводиться з формули простого відсотка FV = PV (1 + nr), з якої ставка простого відсотка дорівнює Формула №8:
Процентна ставка з урахуванням реінвестування обчислюється з формули складного відсотка FV = PV (1 + r) n. з якої шляхом необхідних перетворень отримуємо Формула №9:
Для одного тимчасового періоду (якщо n = 1), формула і для простого і для складного відсотка однакова Формула №10:
Відомо, що за 3 роки інвестицій початкова сума в 1 000 EUR перетворилася в 1 900 EUR. Необхідно розрахувати ставку складного відсотка, по якій щорічно нараховувався дохід.
Таким чином, дано:
Знаходимо річну ставку по Формулі №9: