Обчислення визначника матриці

Необхідність введення визначника - числа, що характеризує квадратну матрицю А, -тесного пов'язано з рішенням систем лінійних рівнянь. Визначник матриці А позначається | A |

Визначником матриці першого порядку A = a11. або визначником першого порядку, називається елемент a11. Δ1 = | A | = a11

Наприклад, нехай A = (3), тоді Δ1 = | A | = 3

Визначником матриці другого порядку A = (aij), або визначником другого порядку, називається число, яке обчислюється за формулою:

Визначником матриці третього порядку A = (aij), або визначником третього порядку, називається число, яке обчислюється за формулою:

При обчисленні визначника третього порядку скористаємося способом Саррюс. Виписуємо всі елементи визначника і приписуємо справа перші два стовпці визначника:

Візьмемо зі знаком «+» твір елементів по головній діагоналі і двох її паралельних лініях (тобто знак твори беремо не зраджуючи) і зі знаком «-» твір елементів побічної діагоналі і двох паралельних їй лініях (тобто знак твори цих елементів зміниться на протилежний). Взявши алгебраїчну суму, отримаємо визначник третього порядку.

Завдання 1. Обчислити визначник 3-го порядку:

властивості визначників

1. Перестановка двох стовпців або двох рядків визначника рівносильна множенню його на -1.
2. Якщо визначник має два однакових шпальти чи два однакових рядки, то він дорівнює нулю.
3. Множення всіх елементів одного стовпця або одного рядка визначника на будь-яке число λ рівносильно множенню визначника на це число λ.
4. Якщо всі елементи деякого стовпця або рядка визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.
5. При транспонировании матриці її визначник не змінюється, т. Е. | A | = | A T |
6. Якщо елементи двох стовпців або двох рядків визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.
7. Якщо до елементів деякого стовпця (рядки) визначника додати відповідні елементи іншого шпальти (рядки), помножені на будь-який загальний множник λ, то величина визначника не зміниться.

Наступне властивість визначника пов'язано з поняттями мінору та алгебраїчного доповнення. Мінором M ij елемента a ij матриці A = (a ij) (i, j = 1,2, ..., n) n-го порядку називається визначник матриці (n-1) -го порядку, отриманий з матриці А викреслюванням i-ой рядки і j-го стовпця. Наприклад, мінор елемента a 32 матриці третього порядку є визначник другого порядку:

Алгебраїчним доповненням Aij елемента aij матриці А n-го порядку називається його мінор, взятий зі знаком (-1) 1+ j.

8. (Теорема Лапласа) Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого стовпця (рядка) на їх алгебраїчні доповнення, тобто якщо A = (aij), то:

(Розкладання за елементами i-го рядка; i = 1,2,3, ..., n);

(Розкладання за елементами j-го стовпця; j = 1,2, ..., n.).

Завдання 2. Обчислити визначник матриці:

Виберемо стовпець (або рядок), що містить найбільше нулів, наприклад, перший рядок, і розкладемо по ній визначник, використовуючи властивість 8. Отримаємо визначник третього порядку. який знайдемо також по властивості 8 розкладанням, наприклад по третьому стовпці:

У ичісленіе визначника матриці в MS Excel

Для обчислення визначника матриці сформуємо лист електронної таблиці MS Excel:

• Визначимо вихідну матрицю.
• Визначимо місце під результат.
• Звернемося до майстра функцій, знайдемо функцію МОПРЕД. виконаємо постановку задачі.

Завершити виконання роботи одночасним натисканням клавіш Shift / Ctrl / Enter

Порядок обчислення визначників матриці для наведеної вище системи рівнянь на конкретному прикладі параболи другого порядку дивись Метод найменших квадратів

Обчислення визначника для транспонованою матриці дивись п.V Сезонна коригування часового ряду

Дивись також по темі: