Номінальна і ефективна ставки відсотків

Нарахування складних відсотків

Складні відсотки застосовуються в довгострокових фінансово-кредитних операціях, якщо відсотки не виплачуються періодично відразу після їх нарахування за минулий інтервал часу, а приєднуються до суми боргу. Приєднання нарахованих відсотків до суми, яка служила базою для їх визначення, часто називають капіталізацією відсотків.

Формула нарощення по складним відсоткам

Нехай початкова сума боргу дорівнює P. тоді через один рік сума боргу з приєднаними відсотками складе P (1 + i). через 2 роки P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i) 2. через n років - P (1 + i) n. Таким чином, отримуємо формулу нарощення для складних відсотків

де S - нарощена сума, i - річна ставка складних відсотків, n - термін позики, (1 + i) n - множник нарощення.

У практичних розрахунках в основному застосовують дискретні відсотки, тобто відсотки, що нараховуються за однакові інтервали часу (рік, півріччя, квартал і т.д.). Нарощення по складних відсотках являє собою зростання за законом геометричної прогресії, перший член якої дорівнює P. а знаменник (1 + i).

Відзначимо, що при терміні n<1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а при n>1 - навпаки. У цьому неважко переконатися на конкретних числових прикладах. Найбільше перевищення суми, нарощеної за простими відсоткам, над сумою, нарощеної по складним відсоткам, (при однакових процентних ставках) досягається в середній частині періоду.

Формула нарощення по складним відсоткам,
коли ставка змінюється у часі

У тому випадку, коли ставка складних відсотків змінюється в часі, формула нарощення має такий вигляд

де i1. i2. ik - послідовні значення ставок відсотків, що діють в періоди n1, n2. nk відповідно.

У договорі зафіксована змінна ставка складних відсотків, яка визначається як 20% річних плюс маржа (позначення різниці між процентними ставками та іншими показниками.) 10% в перші два роки, 8% в третій рік, 5% в четвертий рік. Визначити величину множника нарощення за 4 роки.

(1 + 0,3) 2 (1 + 0,28) (1 + 0,25) = 2,704

Нарахування річних відсотків при дробовому числі років

При дробовому числі років відсотки нараховуються різними способами:

1) За формулою складних відсотків

2) На основі змішаного методу, згідно з яким за ціле число років нараховуються складні відсотки, а за дробове - прості

де n = a + b, a -метою число років, b -дробная частину року.

3) У ряді комерційних банків застосовується правило, згідно з яким за відрізки часу менше періоду нарахування відсотки не нараховуються, тобто

Номінальна і ефективна ставки відсотків

Номінальна ставка. Нехай річна ставка складних відсотків дорівнює j. а число періодів нарахування в році m. Тоді кожен раз відсотки нараховують по ставкеj / m. Ставка j називається номінальною. Нарахування відсотків за номінальною ставкою здійснюється за формулою:

де N - число періодів нарахування.

Якщо термін позики вимірюється дробовим числом періодів нарахування, то при m разовому нарахуванні відсотків на рік нарощену суму можна розраховувати декількома способами, що приводять до різних результатів:

1) За формулою складних відсотків

де N / t - число (можливо дробове) періодів нарахування відсотків, t - період нарахування відсотків,

2) За змішаною формулою

де a - ціле число періодів нарахування (тобто a = [N / t] - ціла частина від ділення всього терміну позики N на період нарахування t),

b - залишилася дрібна частина періоду нарахування (b = N / t-a).

Розмір позики 20 млн. Руб. Надано на 28 місяців. Номінальна ставка дорівнює 60% річних. Нарахування відсотків щоквартальне. Обчислити нарощену суму в трьох ситуаціях: 1) коли на дробову частину нараховуються складні відсотки

Нарахування відсотків щоквартальне. Всього є кварталів.

1) = 73,713 млн. Руб.

Ефективна ставка показує, яка річна ставка складних відсотків дає той же фінансовий результат, що і m-разове нарощення на рік за ставкою j / m.

Якщо відсотки капіталізуються m раз на рік, кожен раз зі ставкою j / m. то, за визначенням, можна записати рівність для відповідних множників нарощення:

де iе - ефективна ставка, а j - номінальна. Звідси отримуємо, що зв'язок між ефективною і номінальною ставками виражається співвідношенням

Зворотна залежність має вигляд

Обчислити ефективну ставку відсотка, якщо банк нараховує відсотки щоквартально, виходячи з номінальної ставки 10% річних.

Приклад 10. Визначити якою повинна бути номінальна ставка при щоквартальному нарахуванні відсотків, щоб забезпечити ефективну ставку 12% річних.

j = 4 [(1 + 0,12) 1/4 -1] = 0,11495, тобто 11,495%.