Несмещенная оцінка дисперсії визначається за формулою

Визначити статистичне математичне очікування M * і статистичну дисперсію D * випадкової величини Х. Побудувати гістограму даної статистичної сукупності.

Рішення. При безперервному розподілі ознаки весь інтервал, в якому укладені всі наблюденниє значення ознаки, розбивають на ряд часткових інтервалів довжини h і знаходять mi - суму частот варіантів, які потрапили в i -й інтервал. Гістограмою частот називають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, підставами яких служать інтервали довжини h. а висоти дорівнюють відношенню mi / h (щільність частоти).

Площа гістограми частот дорівнює сумі всіх частот, тобто обсягом вибірки. Шукана гістограма частот зображена на рис. 14.

Незміщені оцінки M * і D * знайдемо, приймаючи середини інтервалів в якості варіантів:

M * = (-450) · 0,01 + (-350) · 0,03 + (-250) · 0,07 + (-150) · 0,14 + (-50) · 0,25 + 50 · 0,24 +

+ 150 · 0,15 + 250 · 0,08 + 350 · 0,02 + 450 · 0,01 = 0.

Оцінка середнього квадратичного відхилення

характеризує розсіювання випадкової величини.

Оцінка невідомого параметра генеральної сукупності одним числом називається точковою оцінкою.

Поряд з точковими оцінками існує интервальное оцінювання, коли за даними вибірки будується числовий інтервал, щодо якого з заздалегідь обраної ймовірністю можна сказати, що всередині цього інтервалу знаходиться оцінюваний параметр. Інтервальне оцінювання особливо необхідно при малому числі спостережень, коли точкова оцінка значною мірою випадкова, отже, мало надійна.

6.7. Знайти довірчий інтервал для оцінки з довірчою ймовірністю 0,95 невідомого математичного очікування a нормально розподіленого ознаки Х генеральної сукупності, якщо дані генеральне середнє відхилення σ = 5, вибіркова середня a * = 14 і обсяг вибірки n = 25.

Рішення. Для визначення точності оцінки a * в математичній статистиці користуються довірчими інтервалами, а для визначення надійності - довірчими ймовірностями. Довірчим називають інтервал, який із заданою надійністю β покриває оцінюваний параметр.

Щільність ймовірності нормально розподіленої випадкової величини має вигляд:

,

де  - середньо квадратичне відхилення, а - математичне очікування.

Для оцінки математичного очікування a нормально розподіленої випадкової величини Х за вибірковою середньою a * при відомому середньому квадратичному відхиленні σ генеральної сукупності служить довірчий інтервал

,

де

; α - точність оцінки; n - обсяг вибірки; t - таке значення аргументу функції Лапласа (інтеграла ймовірностей)

,

.

.

Знайдемо довірчий інтервал (a * - α; a * + α). Для цього знайдемо t. зі співвідношення