Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Рішення. Характеристичне рівняння $$ k ^ + k = 0 \\ k (k + 1) = 0 \ ;; \; k_ = 0 \ ;; \; k _ = - 1 $$

Загальне рішення однорідних рівнянь має вигляд: $ y = C_ + C_e ^ $

Права частина рівняння $ f (x) = 4x ^ e ^ \ ,, \, \ alpha = 1 $. тому $ \ Alpha = 1 $ не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв'язок неоднорідного рівняння має вигляд (див. Табл. Випадок 2/1) $$ \ overline = (A_x ^ + A_x + A_) e ^ $$

Підставляючи його у вихідне рівняння і скорочуючи обидві частини рівняння на $ e ^ $. матимемо $$ 2A_x ^ + (6A_ + 2A_) x + 2A_ + 3A_ + 2A_ = 4x ^ $$

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях в лівій і правій частинах рівності, отримуємо лінійну систему рівнянь для знаходження коефіцієнтів $ A_ \ ,, \, A_ \ text<и> A_ $: $$ \ left \ 2A_ = 4 ; A_ = 2 \\ 6A_ + 2A_ = 0 ; A _ = - 6 \\ 2A_ + 3A_ + 2A_ = 0 ; A_ = 7 \ end \ right. $$ $$ \ overline = (2x ^ -6x + 7) e ^ $$

Загальне рішення даного рівняння $$ y (x) = C_ + C_e ^ + (2x ^ -6x + 7) e ^ $$

Знайти спільне рішення рівняння $$ # '#' + # '+ 25y = 4e ^ $$

Рішення: характеристичне рівняння $ k ^ + 10k + 25 = 0 $ має дворазовий корінь $ k_ = k _ = - 5 $, тому $ y = (C_ + C_x) e ^ $. Оскільки $ К = -5 $ є коренем характеристичного рівняння кратності $ S = 2 $, то приватне рішення неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді (див. Табл. Випадок 2 (2)): $$ \ overline = Ax ^ e ^ \ ;; \ ;> # '= A (2x-5x ^) e ^ \ ;; \;> #' # '= A (2-20x + 25x ^) e ^ $$

Підставляючи вирази для $ y \ ,, \, # '\ ,, \, # '#' $ В вихідне рівняння, отримуємо $ 2Ae ^ = 4e ^ \ ,, \, A = 2 \ ,, \, y = 2x ^ e ^ $. Загальне рішення даного рівняння $$ y = (C_ + C_x) e ^ + 2x ^ e ^ $$

Знайти приватне рішення рівняння (вирішити задачу Коші) $$ # '#' + # '- 2y = \ cos-3 \ sin $$ Початкові умови: $ y (0) = 1 \ ;; \; # '(0) = 2 \ ;; $

Характеристичне рівняння: $ k ^ + k-2 = 0 $;

Коріння характеристичного рівняння: $ k_ = 1 \ ;; \; k _ = - 2 $;

Загальне рішення однорідного рівняння: $ y = C_e ^ + C_e ^ $

Приватне рішення неоднорідного диференціального рівняння будемо шукати у вигляді (табл): $$ \ overline = A \ cos + B \ sin \ ;; \; \\ \ overline # '> = - A \ sin + B \ cos \ ;; \; \\> # '#' = - A \ cos-B \ sin $$

Підставляючи вирази для $ y \ ,, \, # '\ ,, \, # '#' $ В вихідне рівняння, отримуємо: $ (B-3A) \ cos + (- 3B-A) \ sin = \ cos-3 \ sin $ $$ \ left \ B-3A = 1 \\ \ Rightarrow A = 0 , B = 1 ; \\ - (3B + A) = - 3 \ end \ right. $$ Тоді загальне рішення заданого рівняння матиме вигляд: $$ y = C_e ^ + C_e ^ + \ sin $$