Наукова мережа тригонометрія і

Якщо тепер витягти з обох частин квадратного кореня, то вийдуть такі `` формули половинного кута '':

Стало бути, якщо нам відомий косинус числа, то - з точністю до знака - ми можемо знайти також синус і косинус числа.

Якщо відкинути в формулах половинного кута знаки абсолютної величини і записати, наприклад,, то вийде невірна формула: права частина у неї завжди неотрицательна (за визначенням квадратного кореня), а ліва частина може бути негативною. Якщо ми знаємо тільки значення тригонометричних функцій від кута, то для визначення знаків і потрібна додаткова інформація.

Така неоднозначність у визначенні значень функцій половинного кута не дивна: якщо ми знаємо тільки і, то нам відомо розташування точки, що відповідає числу, на тригонометричної окружності, але дізнатися, де на колі знаходиться число, без додаткової інформації не можна: якщо числа і відрізняються на, то самі вони займають на тригонометричної окружності одне і те ж місце, а числа і діаметрально протилежні.

Завдання 4.6 а) Знайдіть, якщо.

б) Знайдіть, якщо.

в) Нехай нам потрібно знайти, якщо і. Для яких з відрізка ця задача буде мати єдине рішення?

Завдання 4.7 У трикутнику проти сторін,, лежать кути,,. Доведіть такі формули:

Другий приклад застосування формул зниження ступеня відноситься до фізики. Як відомо, якщо `` навантаження '' (наприклад, електрична лампочка) опором знаходиться під напругою, на ній виділяється потужність. Якщо струм у нас змінний, то напруга, а отже, і потужність весь час змінюються, і тоді практичний інтерес представляє середнє значення цієї потужності. Давайте його знайдемо. Нехай напруга залежить від часу за законом, де - амплітуда (максимальне значення напруги). Тоді за формулою зниження ступеня маємо:

Формули, які ми тільки що отримали, в принципі дозволяють чисто механічно перевірити будь-який тригонометричну тотожність, в обох частинах якого стоять вирази щодо і: треба тільки висловити всюди і через, після чого, якщо позначити через, вийде алгебраїчне тотожність з однією змінною, перевірка якого може зажадати часу, але не винахідливості. Точно так же будь-який тригонометрическое рівняння, в якому ліва і права частини виражені через і, зводиться за допомогою цих формул до рівнянню алгебри щодо (втім, для вирішення рівнянь в `` шкільному '' сенсі ця підстановка мало що дає, оскільки при цьому, як правило, виходять рівняння алгебри високого ступеня).

Формули, що виражають тригонометричні функції через тангенс половинного кута, називаються `` формулами універсальної підстановки ''.

На формули універсальної підстановки можна подивитися і ще з одного боку. Розглянемо нашу стару знайому - коло радіуса 1 з центром на початку координат. Рівняння цієї окружності можна розглядати як рецепт перевірки, чи належить окружності дана точка: `` підстав її координати в рівняння; точка буде лежати на колі, якщо при цьому вийде вірне рівність ''. Після того, як ми визначили функції синус і косинус, з'являється можливість описати коло, що називається, параметрически, а саме задати координати всіх її точок формулами: `` точки окружності - це точки з координатами для всіляких чисел ''. Якщо тепер висловити і через, то точки окружності виявляться заданими за допомогою формул, які не використовують тригонометрії: точки окружності з рівнянням - це точки з координатами для всіляких. 12 Як кажуть, координати точок кола задаються за допомогою `` раціональних функцій '' від (раціональна функція - це функція, для обчислення значення якої досить чотирьох дій арифметики і спорудження на всю ступінь).

Уявімо тепер, що крива задається не рівнянням, а якимось іншим алгебраїчним рівнянням. Питається, чи можна в цьому випадку координати її точок поставити раціональними виразами від змінної? Відповідь на це питання залежить від рівняння кривої. Якщо в обох частинах рівняння стоять многочлени від і ступеня не вище другого, то задати точки кривої за допомогою раціональних функцій від однієї змінної завжди вдається (приклади - в задачі 4.11). Якщо ж крива задана рівнянням ступеня більше 2, то, як правило, задати координати її точок раціональними функціями неможливо: так воно є вже для кривої.

Завдання 4.11 Задайте за допомогою раціональних функцій координати точок наступних кривих: а) еліпса з рівнянням; б) гіперболи з рівнянням; в) гіперболи з рівнянням.

Вказівки. б) Якщо, то. в) Розкладіть ліву частину на множники.

Завдання 4.12 а) Вкажіть п'ять рішень рівняння в позитивних раціональних числах.

б) Вкажіть п'ять рішень рівняння в натуральних числах.