Наближене знаходження коренів рівнянь і точок екстремуму

де - деяка постійна (не залежить від). Якщо початкове наближення взято досить близько від кореня. то можна взяти.

Зауважимо, що в порівнянні із загальною оцінкою методу ітерацій

постійна замінюється в оцінці методу Ньютона (9.2) на прагне до 0 величину; звідси і висока швидкість збіжності.

Швидкість збіжності ітерацій, яка задається формулою (9.2), називається квадратичною. Квадратична швидкість збіжності означає, приблизно кажучи, що число вірних знаків в наближеному значенні подвоюється з кожною итерацией. Дійсно, якщо. і. то. Це і означає, що число вірних знаків при переході до наступного наближення зросла з до. тобто подвоїлася.

Геометричний сенс методу Ньютона полягає в тому, що на кожному кроці ми будуємо дотичну до графіка в точці чергового послідовного наближення. а за наступне наближення беремо точку перетину цієї дотичної з віссю. Тим самим нахил прямої підлаштовується на кожному кроці найкращим чином (адже кривизну графіка, пов'язану з другої похідної, ми не враховуємо, і тому невідомо, в який бік від дотичній відхилиться графік).

Мал. 9. 13 .Последовательние наближення методу Ньютона

Зауважимо, що по-іншому ідею методу Ньютона ми можемо описати так: на кожному кроці замість вихідного рівняння ми вирішуємо наближене, лінеаризоване в точці рівняння

в якому ліва частина - це многочлен Тейлора першого порядку для функції в точці. тобто лінійна функція

Рішенням лінеаризованого рівняння служить наступне наближення. в той час як рішенням вихідного точного рівняння служить шуканий корінь.

Приклад 9. 7 Вирішимо методом Ньютона все той же рівняння. взявши в якості початкового наближення і задавши точність (ту ж, що була взята при вирішенні цього рівняння методом однієї дотичній). Оскільки. то итерационная формула методу Ньютона буде такою:

Застосовуючи цю формулу, послідовно знаходимо:

так що з точністю. Як ми бачимо, значення кореня з потрібною нам точністю було отримано вже на третьому кроці. (Четвертий крок знадобився для того, щоб можна було переконатися, що з потрібною нам точністю значення перестало змінюватися.)

Вправа 9. 2 Знайдіть той же корінь, почавши с. (Зауважимо, що итерационную формулу при цьому змінювати не треба, на відміну від методу однієї дотичній.) Скільки потрібно ітерацій для досягнення тієї ж точності? Зверніть увагу на те, що спочатку наближення (і) виявляться навіть поза відрізка. але потім швидко сходяться до з того ж боку, що в прикладі.

Відповідь: Буде потрібно 6 ітерацій.