N-мірне евклідів простір вікі

Евклід простір (також евклідова простір) - в первісному значенні, простір, властивості якого описуються аксіомами геометрії Евкліда. У цьому випадку передбачається, що простір має розмірність. рівну 3.

У сучасному розумінні, в більш загальному сенсі, може позначати один з подібних і тісно пов'язаних об'єктів: конечномерное речовий векторний простір R n ^> з введеним на ньому позитивно певним скалярним твором. або метричний простір. відповідне такому векторному простору. У цій статті за вихідне буде взято перше визначення.

n -мірним евклидово простір позначається E n. ^,> Також часто використовується позначення R n ^> (якщо з контексту ясно, що простір має евклідової структурою).

Формальне визначення [| ]

Для визначення евклідового простору найпростіше взяти в якості основного поняття скалярного твори. Евклидово векторний простір визначається як конечномерное векторний простір над полем дійсних чисел. на векторах якого задана вещественнозначная функція ( # X22C5 ;. # X22C5; ). що володіє наступними трьома властивостями:

Афінний простір. відповідне такому векторному простору, називається евклідовим аффінним простором, або просто евклідовому простором [1].

Приклад евклідового простору - координатне простір R n. ^,> Що складається з різноманітних кортежів дійсних чисел (x 1. x 2. # X2026 ;. x n). , X _, \ ldots, x _),> скалярний твір в якому визначається формулою (x. Y) = # X2211; i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + # X22EF; + X n y n. ^ X_y_ = x_y_ + x_y _ + \ cdots + x_y _.>

Довжини і кути [| ]

Заданого на евклідовому просторі скалярного твори досить для того, щоб ввести геометричні поняття довжини і кута. Довжина вектора u визначається як (u. U) >> і позначається | u |. [2] [3] Позитивна визначеність скалярного твори гарантує, що довжина ненульового вектора ненульова, а з білінійну слід, що | a u | = | a | | u |. тобто довжини пропорційних векторів пропорційні.

Кут між векторами u і v визначається за формулою # X03C6; = arccos # X2061; ((X. Y) | x | | y |).> \ Right).> З теореми косинусів випливає, що для двовимірного евклідового простору (евклідової площині) дане визначення кута збігається зі звичайним. Ортогональні вектори, як і в тривимірному просторі, можна визначити як вектори, кут між якими дорівнює # X03C0; 2.>.>

Нерівність Коші - Буняковського - Шварца і нерівність трикутника [| ]

В даному вище визначенні кута залишився один пробіл: для того, щоб arccos # X2061; ((X. Y) | x | | y |)> \ right)> був визначений, необхідно, щоб виконувалася нерівність | (X. Y) | x | | y | | # X2A7D; 1.> \ Right | \ leqslant 1.> Це нерівність дійсно виконується в довільному евклідовому просторі, воно називається нерівністю Коші - Буняковського - Шварца. З цієї нерівності, в свою чергу, слід нерівність трикутника. | u + v | # X2A7D; | u | + | v |. Нерівність трикутника, разом з перерахованими вище властивостями довжини, означає, що довжина вектора є нормою на Евклідовому векторному просторі, а функція d (x. Y) = | x # X2212; y | задає на евклідовому просторі структуру метричного простору (ця функція називається евклідової метрикою). Зокрема, відстань між елементами (точками) x і y координатного простору R n ^> задається формулою d (x. Y) = # X2225; x # X2212; y # X2225; = # X2211; i = 1 n (x i # X2212; y i) 2., \ mathbf) = \ | \ mathbf - \ mathbf \ | = ^ (x_-y _) ^ >>.>

Алгебраїчні властивості [| ]

Ортонормированном базисі [| ]

Ортонормованій базис в Евклідовому (векторному) просторі - це базис. що складається з попарно ортогональних векторів одиничної норми. Ортонормированном базисі найбільш зручні для обчислень. Так, наприклад, скалярний добуток векторів з координатами (a 1. a 2. # X2026 ;. a n), a _, \ ldots, a _)> і (b 1. b 2. # X2026 ;. b n), b _, \ ldots, b _)> в ортонормированном базисі можна обчислювати за формулою (a. b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + # X22EF; + A n b n. b_ + a_b _ + \ cdots + a_b _.> В будь-якому евклідовому просторі існує ортонормованій базис. Вибравши в двох евклідових просторах ортонормированном базисі і перевівши один з них в інший лінійним відображенням. можна довести, що будь-які два евклідових простору однакової розмірності ізоморфні (зокрема, n -мірним евклидово простір ізоморфно R n ^> зі стандартним скалярним твором).

Ортогональні проекції [| ]

Вектор називається ортогональним подпространству, якщо він ортогонален всіма векторами цього підпростору. Ортогональна проекція вектора x на підпростір U - це вектор h. ортогональний U. такий що x представимо у вигляді u + h. де u # X2208; U. Відстань між кінцями векторів u і x є мінімальним відстанню серед відстаней від кінця вектора x до підпростору U. Ортогональна проекція вектора на підпростір завжди існує, для її побудови досить застосувати метод ортогоналізації Грама - Шмідта до об'єднання ортонормированного базису в підпросторі і цього вектора. Ортогональні проекції в просторах великих розмірностей використовуються, наприклад, в методі найменших квадратів.

Зв'язані простору і оператори [| ]

Будь-вектор x евклідового простору задає лінійний функціонал x # X2217;> на цьому просторі, який визначається як x # X2217; (Y) = (x. Y). (Y) = (x, y).> Це зіставлення є изоморфизмом між евклідовому простором і двоїстим до нього простором [4] і дозволяє їх ототожнювати без шкоди для обчислень. Зокрема, сполучені оператори можна розглядати як діючі на вихідному просторі, а не на неоднозначному до нього, і визначити самосопряженних оператори як оператори, що збігаються із зв'язаними до них. У ортонормированном базисі матриця сполученого оператора є транспонованою до матриці вихідного оператора, а матриця самосопряженних оператора є симетричною.

Рухи евклідового простору [| ]

Рухи евклідового простору - це перетворення. зберігають метрику (також називаються ізометрію). Приклад руху - паралельний перенос на вектор v. переводить точку p в точку p + v. Неважко побачити, що будь-який рух є композицією паралельного перенесення і перетворення, що зберігає нерухомої одну точку. Вибравши нерухому точку за початок координат, будь такий рух можна розглядати як ортогональное перетворення. Ортогональні перетворення n мірного евклідового простору утворюють групу, що позначається O (n). Вибравши в просторі ортонормованій базис, цю групу можна уявити як групу матриць n × n. б відповідала умовам Q T Q = E.> Q = E ,,> де Q T >> - транспонована матриця, а E - одинична матриця.

Приклади [| ]

Наочними прикладами евклідових просторів можуть служити простору:

Більш абстрактний приклад:

простір речових многочленів p (x) ступеня, що не перевищує n. зі скалярним твором, певним як інтеграл твори за кінцевим відрізку (або по всій прямий, але з швидко спадає ваговій функцією, наприклад e # X2212; x 2 >>).