Муніципальний етап української олімпіади з математики 2018-12 навчального року

Відповідь. 1829 і 182.

Рішення. Позначимо друге число за. Тоді перше число має вигляд, де цифра. З умови задачі отримуємо, що, а тоді, звідки.

Критерії. Відповідь без докази єдиності - 3 бали.

На площині відзначені чотири точки А, В, С і D. Відомо, що АВ  СD, BC  AD. Довести, що AC  BD.

Рішення. Легко бачити, що точки А, В і С не можуть лежати на одній прямій. Отже, вони утворюють трикутник, в якому точка D є перетин двох висот: CD і AD. Але тоді ВD - третя висота трикутника АВС, і вона перпендикулярна стороні АС.

Критерії. Чи не доведено, що точки А, В і С не можуть лежати на одній прямій - не більше 5 балів.

Два графіка і мають єдину спільну точку. Чому дорівнює абсциса цієї точки?

Відповідь. 0 або 2. Рішення. З умови випливає, що рівняння має єдине рішення, яке потрібно знайти. Дискримінант цього рівняння дорівнює, а коріння. Оскільки згідно з умовою, маємо або, тобто або.

Критерії. Знайдений один відповідь - 1 бал, обидві відповіді без обґрунтування, що інших немає, - 3 бали.

У клітинах прямокутної таблиці записані натуральні числа. За один хід дозволяється або помножити на 2 всі числа рядка, або відняти 1 з усіх чисел стовпчика. Доведіть, що за кілька ходів можна домогтися того, щоб у всіх клітинах таблиці стояли нулі.

Рішення. Виберемо довільний стовпець і будемо віднімати з усіх елементів стовпця 1 до тих пір, поки найменше з чисел стовпчика не стане рівним 1. Якщо не всі числа стовпчика стали рівними 1, то вчинимо так: помножимо на 2 всі рядки, в яких стоять 1 вибраного стовпця , і знову віднімемо з усіх елементів стовпця 1. В результаті все 1 залишаться 1, а решта числа зменшаться на 1. Очевидно, що після кількох таких операцій все числа вибраного стовпця стануть рівними 1. Тепер можна відняти з усіх елементів стовпця 1, і він стане нульовим. Виберемо інший стовпець і тими ж діями доб'ємося, щоб він став нульовим. Зауважимо, що, працюючи з другим стовпцем, ми не змінимо вже отримані нулі в першому стовпчику. Послідовно роблячи нульовими один стовпець за іншим, отримаємо таблицю з одних нулів.

Критерії. Якщо показано, як отримати нульовий стовпець, то не менше 4 балів.

На пост мера балотувалися три кандидати. Кандидат А заявив: «Я розумніший Б». Кандидат Б заявив: «Я чесніше В». Кандидат У заявив: «Я багатшими А». Відомо, що найбагатший збрехав, найрозумніший сказав правду, а найчесніший був третій. Хто з кандидатів був найбагатший?

Відповідь. найбагатший Б. Рішення. Кандидат В не може бути найбагатшим, так як в противному випадку він сказав правду, що суперечить умові. Припустимо, найбагатший - А. Але тоді В збрехав, значить згідно з умовою він не може бути найрозумнішим, значить, найрозумніший - Б, найчесніший - В. Але тоді Б сказав правду і він чесніше В. Ми отримали протиріччя. Значить, найбагатшим може бути тільки Б. Неважко переконатися, що така ситуація можлива.

Критерії. Якщо знайдена відповідь без обґрунтування або з невірним обґрунтуванням - 1 бал. Якщо завдання вирішується перебором, то стежити за тим, щоб були розглянуті всі варіанти, в іншому випадку перебір рішенням не брати до уваги.

Схожі документи:

і призери шкільного етапаОлімпіади поточного учебногогода. 24. Переможцем муніціпальногоетапаОлімпіади визнається учасник муніціпальногоетапаОлімпіади. який набрав найбільшу кількість.

установи для проведення муніціпальногоетапа всеукраїнської олімпіади школярів з української мови та математики для учнів. учебномгоду Протокол № ___ Засідання журі з підведення підсумків муніціпальногоетапа всеукраїнської олімпіади школярів з.

учебномгоду Відповідно до положення, затвердженого наказом Міністерства освіти і науки Укаїни від 02.12. етапаОлімпіади; стверджує квоти переможців і призерів шкільного етапаОлімпіадипо предметів; 2.3. Муніципальна.