Мотузки й об’єктна мова

Вчені-логіки іноді вважають за необхідне провести відмінність між формальною мовою, який вони вивчають, і тією мовою, якою вони користуються при розгляді формального мови. Сам формальний мову називається об'єктним мовою, а мова, застосовуваний для його розгляду, називається метамовою. Об'єктний мова отримала таку назву тому, що в його пропозиціях можуть відображатися логічні взаємозв'язки між реальними об'єктами. Мотузки описує істинності значення позначень, що вживаються в об'єктному мовою, неформальний зміст позначень об'єктного мови, властивості окремих пропозицій об'єктного мови, властивості теорій об'єктного мови і властивості об'єктного мови в цілому. В даному розділі об'єктним мовою є логіка висловлювань. Під час обговорення логіки висловлювань в якості метамови застосовується підмножина природної мови. Будь-яка пропозиція, що стосується властивостей будь-якого боку об'єктного мови, є пропозицією метамови. Деякі приклади пропозицій метамови, що стосуються висловлювання А:

А логічно тотожне істинно.

Неформальний сенс А: "Сьогодні йде дощ".

А є логічним наслідком теорії, яка визначається

Повнота і послідовність теорії

Про теорію кажуть, що вона синтаксично послідовна (т. Е. Несуперечлива), якщо з аксіом теорії неможливо вивести протиріччя. Наприклад, теорія, в якій можна довести і р, і

р, непослідовна. Про теорію кажуть, що вона сповнена, якщо кожну справжню ППФ можна довести на підставі аксіом цієї теорії. Послідовність і повнота є властивостями теорії. Пропозиція

Теорія, яка визначається аксіомами (1-4), послідовна і повна. є пропозицією метамови.

5. Логіка предикатів Атомарні формули

У логіці висловлювань елементарним об'єктом, що володіє значенням істинності, є атомарний висловлювання, яке ніяким чином не можна розділити на компоненти. У логіці предикатів елементарним об'єктом, що володіє істінностним значенням, є атомарна формула. Атомарна формула складається з символічного позначення предиката і термів, які виступають в ролі аргументів цього предиката. У загальному випадку позначення предиката - це ім'я відносини, існуючого між аргументами. Оскільки сама атомарна формула побудована з інших об'єктів, вона має набагато більшу виразною силою, ніж атомарному висловлювання в логіці висловлювань.

Атомарна формула записується як позначення предиката, за яким в дужках розташовуються декілька аргументів. Кожен аргумент - це терм. Загальний вигляд атомарної формули:

P (tl, t2. Tn) Тут Р - позначення предиката, a t1, t2. tn - терми.

Визначення поняття "терм"

Терм - це або константа, або змінна, або вживання функції. "Вживання функції" записується як символічне позначення функції, за яким в дужках розташовується список аргументів. Кожен аргумент сам є термо. Загальна форма вживання функції:

Тут f - позначення функції, a tl, t2. tn - терми.

Словник символічних позначень логіки предикатів

У логіці предикатів прийняті наступні позначення: літери а, b, з позначають константи, х, у, z позначають змінні, f, g, h позначають функції, а Р, Q, R використовуються для позначення предикатів. Цей словник можна розширити за рахунок інших позначень, але передбачуване використання кожного введеного позначення слід домовлятися явно.