Модуль і знак числа

Визначення та основні факти

Поняття модуля, або абсолютного значення, дійсного числа допускає кілька підходів. Ми почнемо з геометричного тлумачення цього поняття.
Як відомо, кожне дійсне число можна ототожнити з точкою на числовій прямій. Оскільки про кожну відмінну від нуля точку можна сказати, лежить вона лівіше нуля або правіше, а також виміряти відстань від цієї точки до нуля, ми можемо пов'язати з кожним дійсним числом дві величини: його знак і його модуль. А саме, якщо точка, яка зображує число, лежить лівіше нуля, то кажуть, що знак числа негативний, а якщо правіше нуля, то кажуть, що знак числа позитивний; число знака не має. Модуль числа, що дорівнює відстані від точки, яка зображує число, до нуля можна виміряти для всіх дійсних чисел. Наприклад, число позитивно, а його модуль дорівнює, число негативно, а його модуль дорівнює; модуль нуля дорівнює нулю. Як ми бачимо, модуль позитивного числа дорівнює самому цьому числа. Модуль негативного числа дорівнює "мінус" -етому числу, тобто протилежного числу; наприклад, модуль числа дорівнює. Таким чином, кожен по-справжньому число можна записати у вигляді = знак модуль. Більш точно, вводяться дві функції дійсного аргументу, звані знаком і модулем: і відповідно (signum - знак (лат.)). За визначенням вважають

Отже, відштовхуючись від геометричної інтерпретації дійсного числа. ми прийшли до'орошо відомому алгебраическому визначенню модуля.

Теорема 1.Во введених позначеннях мають місце тотожності і.

Подальше утвердження перераховує властивості модуля, а також розкриває зв'язок між модулем і арифметичними, а також операціями алгебри. Відзначимо, що значення дорівнює відстані на числовій прямій між точками, які зображують числа і.

Теорема 2.Следіть властивості справедливі для всіх дійсних значень що входять в них змінних.
1), причому тоді і тільки тоді, коли.
2).
3); зокрема, .
4); .
5).
6); зокрема і.

Приклад 1.1. Вирішити рівняння .
РІШЕННЯ. Перетворимо ліву частину рівняння:. Оскільки кожне з отриманих доданків неотрицательно при всіх значеннях, що розглядається сума також завжди неотрицательно, причому дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли кожне з доданків дорівнює нулю. Таким чином, вихідне рівняння рівносильне рівнянню.
ВІДПОВІДЬ:.

Графіки функцій і виглядають наступним чином. Функція розривна в нулі і непарна. Функція неперервна на всій числовій прямій і парна. При негативних значеннях змінної вона убуває. а при позитивних - зростає.

Приклад 1.2. При кожному значенні параметра знайти число точок перетину кривих і.
РІШЕННЯ. Зобразимо на площині дані криві. перша з них виходить за допомогою стиснення і, можливо, симетрії щодо осі графіка функції, а друге рівняння задає коло радіуса з центром в точці. При крива лежить в першій і другій чвертях включаючи вісь (при крива збігається з віссю), а окружність - в третій і четвертій, не маючи спільних точок з віссю. Отже, в цьому випадку дані криві не перетинаються.
Нехай тепер. При малих по модулю значеннях параметра у розглянутих кривих спільних точок як і раніше не буде. Потім при зменшенні параметра, відбудеться торкання (цей момент зображений на малюнку),

а при всіх менших значеннях цього параметра буде рівно чотири загальні точки. Залишається лише знайти ті значення параметра, при якому відбудеться дотик. Провівши радіус, отримаємо єгипетський трикутник (тобто трикутник зі сторонами,,), з якого неважко знайти кутовий коефіцієнт відповідної променя:.
ВІДПОВІДЬ: При число точок перетину дорівнює чотирьом, при - двом. а при точки перетину відсутні.

Приклад 1.3. Яка геометрична фігура задається рівнянням? Зробити креслення.
РІШЕННЯ. Неважко бачити, що разом з кожною своєю точкою наша фігура містить також точки,,. Значить, нам досить зобразити частину цієї фігури, що лежить в першій чверті, а потім відобразити отриману криву щодо обох осей і початку координат.
Отже, нехай і. Тоді вихідне рівняння приймає вид. Значить, що лежить в першій чверті частиною фігури є відповідний відрізок прямої. провівши всі зазначені відображення цього відрізка, отримаємо чотирикутник з рівними перпендикулярними діагоналями, тобто квадрат.
ВІДПОВІДЬ: квадрат.