Методи рішення рівнянь і нерівностей з модулем, контент-платформа
Методи рішення рівнянь і нерівностей з модулем
Мети. Метою моєї роботи є класифікація методів рішення рівнянь і нерівностей, що містять змінну під знаком модуля (абсолютної величини). Дане дослідження виникло з необхідності узагальнити всі знання по цій темі для проникаючого повторення при підготовці до Єдиного Державного Іспиту в 10 - 11 класах. В результаті дослідження мені вдалося виділити три основні методи, які є універсальними для вирішення рівнянь (нерівностей) свого типу, а так же, були виявлені окремі випадки цих методів, що спрощують загальну схему рішення.
Вважаю, що дана робота буде корисна учням 11-х класів.
Типи рівнянь (нерівностей) і методи їх вирішення:
I.Простейшіе - рівняння і нерівності виду
| F (x) | = A, | f (x) |
При вирішенні найпростіших рівнянь і нерівностей виходимо з визначення модуля. як відстані від нуля до числа. вираженого в одиничних відрізках.
1. Розглянемо рівняння виду | f (x) | = A:
а). якщо а <0, то решений нет, т. к. |f(x)| 0;
б). Якщо а = 0, то | f (x) | = 0 і f (x) = 0.
в). Якщо | f (x) | = A, (рис.1)
2. Розглянемо нерівності виду | f (x) | <а ( ):
а). якщо а <0, то неравенство примет вид |f(x)| <а <0. Решений нет, т. к. |f(x)| 0;
б). Якщо а = 0, то | f (x) | <0. Решений нет, т. к. |f(x)| 0;
(Якщо нерівність | f (x) |, то | f (x) | = 0, т. К. | F (x) | 0)
Рішення нерівності - безліч значень f (х) «між» числами а і - а:
подвійне нерівність - a 3. Розглянемо нерівності виду | f (x) |> а (): а). якщо а <0, то неравенство примет вид |f(x)| , а <0. Решение: , т. к. |f(x)| 0> a; б). Якщо а = 0, то | f (x) |> 0. Тоді, т. К. | F (x) | 0. (| F (x) | 0. Рішення: (див. Вище)). | F (x) |> a Рішення нерівності: безліч значень х «за» числами а і - а. Відповідь: x = 3, x = -1. 5. Вирішимо рівняння (нерівності) на кожній з ділянок, розкриваючи модуль з урахуванням знака підмодульних вираження. 2. немає рішень. Об'єднуємо рішення всіх випадків, тоді x (- 2. Існують рівняння цього типу (в тестах!), Умова яких дозволяє скоротити кількість розглянутих випадків, але для цього треба уважно дослідити підмодульних вираження. дане рівність можливо тільки, якщо, т. е. коли,. Тоді розглядаємо тільки один випадок: Так як обидві частини рівняння (нерівності) - невід'ємні числа, то можна звести обидві частини в квадрат. Тоді отримаємо: f2 (x) * g2 (x) або f2 (x) - g2 (x) * 0 - це різниця квадратів, можна розкласти на множники. (Дуже ефективно, коли функції складно задані!) (X2 - 3x + x2 + 3x + 2) 2 ≥ 0, (X2 - 3x + 2 - x2 - 3x - 2) # 8729; (x2 - 3x + 2 + x2 + 3x + 2) ≥ 0, - 6x # 8729; (2x2 + 4) ≥ 0, т. К. 2x2 + 4> 0, то отримаємо: Б). Твір або приватне порівнюється з нулем. 1.Найдіте нулі всіх множників: х = 0, х = - 1. 2.Учтем, що нуль модуля не є знакоменяющей точкою, т. К. ( «Пелюстка»). 3.Расставім в проміжках знаки, чергуючи їх, і в пелюстках теж, починаючи з самого правого (рис. 4). 4.Виберіть проміжки відповідно знаку нерівності: «більше» - c «+», Нулі чисельника: x = 0 (# 9679;). Нулі знаменника: x = 1, «пелюстка» (○). Виконана мною робота дозволила мені привести в систему мої знання по цій темі, що необхідно кожному старшокласнику для успішної здачі Єдиного державного іспиту. Крім того, я відкрила для себе нові схеми рішення рівнянь і нерівностей з модулями, які значно полегшують процес вирішення і дозволяють скоротити час, необхідний для виконання завдання. Розширила знання по роботі з комп'ютерною програмою Microsoft Word, що виходять за рамки простого набору тексту, що необхідно кожній сучасній людині.
| x2 - 3x + 2 | ≥ | x2 + 3x + 2 |,