Метод інтервалів випадок нестрогих нерівностей
Сьогодні ми дізнаємося, як використовувати метод інтервалів для вирішення нестрогих нерівностей. У багатьох підручниках несуворі нерівності визначаються наступним чином:
Схожі нерівність - це нерівність виду f (x) ≥ 0 або f (x) ≤ 0, яке рівносильне сукупності суворого нерівності і рівняння:
У перекладі на українську мову це означає, що Нечитка нерівність f (x) ≥ 0 - це об'єднання класичного рівняння f (x) = 0 і строгої нерівності f (x)> 0. Іншими словами, тепер нас цікавлять не тільки позитивні і негативні області на прямий, а й точки, де функція дорівнює нулю.
Відрізки і інтервали: в чому різниця?
Перш ніж вирішувати несуворі нерівності, давайте згадаємо, ніж інтервал відрізняється від відрізка:
- Інтервал - це частина прямої, обмежена двома точками. Але ці точки не належать інтервалу. Інтервал позначається круглими дужками: (1; 5), (-7; 3), (11; 25) і т.д .;
- Відрізок - це теж частина прямої, обмежена двома точками. Однак ці точки теж є частиною відрізка. Відрізки позначаються квадратними дужками: [1; 5], [-7; 3], [11; 25] і т.д.
Щоб не плутати інтервали з відрізками, для них розроблені спеціальні позначення: інтервал завжди позначається виколотими точками, а відрізок - зафарбованими. наприклад:
На цьому малюнку відзначений відрізок [2; 5] і інтервал (9; 11). Зверніть увагу: кінці відрізка відзначені зафарбованими точками, а сам відрізок позначається квадратними дужками. З інтервалом все інакше: його кінці виколоті, а дужки - круглі.
Метод інтервалів для нестрогих нерівностей
До чого була вся ця лірика про відрізки і інтервали? Дуже просто: для вирішення нестрогих нерівностей все інтервали замінюються відрізками - і вийде відповідь. По суті, ми просто додаємо до відповіді, отриманому методом інтервалів, межі цих самих інтервалів. Порівняйте два нерівності:
Завдання. Вирішіть суворе нерівність:
Вирішуємо методом інтервалів. Прирівнюємо ліву частину нерівності до нуля:
(X - 5) (x + 3) = 0;
x - 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = -3;
Відзначаємо отримані коріння на координатної осі:
Справа стоїть знак плюс. У цьому легко в цьому переконатися, підставивши мільярд в функцію:
f (x) = (x - 5) (x + 3)
Залишилося виписати відповідь. Оскільки нас цікавлять позитивні інтервали, маємо:
Завдання. Вирішіть Нечитка нерівність:
Початок таке ж, як і для строгих нерівностей: працює метод інтервалів. Прирівнюємо ліву частину нерівності до нуля:
(X - 5) (x + 3) = 0;
x - 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = -3;
Відзначаємо отримані коріння на координатної осі:
У попередній задачі ми вже з'ясували, що справа стоїть знак плюс. Нагадаю, в цьому легко переконатися, підставивши мільярд в функцію:
f (x) = (x - 5) (x + 3)
Залишилося записати відповідь. Оскільки нерівність Нечитка, а нас цікавлять позитивні значення, маємо:
Отже, основна відмінність строгих і нестрогих нерівностей:
- У строгих нерівностях нас не цікавлять кінці відрізка, тому вони відзначаються виколотими точками. Такі точки ніколи не входять у відповідь, про що говорять круглі дужки на першому відповіді: x ∈ (-∞; -3) ∪ (5; + ∞);
- І навпаки, в нестрогих нерівностях кінці відрізка входять у відповідь. На графіку вони відзначаються зафарбованими точками, а в Відповідь повинна містити квадратними дужками: x ∈ (-∞; -3] ∪ [5; + ∞).
Ось і вся різниця! Просто запам'ятайте: в строгих нерівностях точки виколоті, а в нестрогих - зафарбовані.
Чому нескінченності завжди стоять в круглих дужках
У уважного Новомосковсктеля напевно виникло питання: чому нескінченності відзначаються круглими дужками навіть в нестрогих нерівностях? Наприклад, чому в останній задачі ми пишемо НЕ [-∞; -3] ∪ [5; + ∞], а (-∞; -3] ∪ [5; + ∞)?
Що ж, це не помилка. Нескінченність дійсно позначається круглою дужкою, навіть якщо нерівність - Нечитка. Щоб зрозуміти, чому так відбувається, досить згадати визначення нескінченності.
Нескінченність - це гіпотетичне число, яке більше будь-якого іншого числа, що бере участь у вирішенні.
Складність полягає в тому, що не можна працювати з нескінченністю безпосередньо. Ми можемо лише наблизитися до неї, підставляючи такі звірячі числа, як 1 000 000 і навіть 1 000 000 000. Але дістатися до самої нескінченності все одно не можна.
Саме тому нескінченність позначають круглими дужками. Адже хоча нескінченність і обмежує всю числову пряму, сама вона не належить цій прямій.
Ситуація точь-в-точь така ж, як з межами інтервалів. Розглянемо всі числа з інтервалу:
Цей запис означає, що число x = 0 не належить інтервалу, проте будь-яке число, яке більше нуля і менше одиниці - належить. Зокрема, цього інтервалу належать наступні числа:
Спробуємо відзначити ці числа на координатної прямої. Оскільки кожне наступне число вдвічі менше попереднього, нам доведеться кілька разів міняти масштаб. Отримаємо щось на зразок цього:
Що дає нам цей графік? Виявляється, при досить великому масштабі можна відзначити будь-яке число. як завгодно близьке до нуля. При цьому сам нуль нікуди не дінеться - він залишається недосяжною кордоном. Саме це і мається на увазі, коли мова заходить про кінцях інтервалу.
Те ж саме відбувається і з нескінченністю. Різниця лише в тому, що масштаб треба не збільшувати, а зменшувати:
Ми можемо скільки завгодно довго йти до нескінченності, але так і не досягнемо її. Ось чому нескінченності позначають круглими дужками, подібно кордонів інтервалу.
Приклади розв'язання нерівностей
На закінчення коротко розберемо два нестрогих нерівності. І якщо в першому завданні ще є якісь пояснення, то друге завдання буде оформлена саме так, як і треба оформляти даний рішення.
Завдання. Вирішіть нерівність:
Як завжди, прирівнюємо все до нуля:
(X + 8) (x - 3) = 0;
x + 8 = 0 ⇒ x = -8;
x - 3 = 0 ⇒ x = 3.
Тепер розглядаємо функцію, яка знаходиться в лівій частині нерівності:
f (x) = (x + 8) (x - 3)
Підставами в цю функцію нескінченність - отримаємо вираз виду:
Креслимо координатну вісь, відзначаємо коріння і розставляємо знаки:
Оскільки ми вирішуємо нерівність (x + 8) (x - 3) ≤ 0 або, що те ж саме, f (x) ≤ 0, залишилося записати відповідь:
Завдання. Вирішіть нерівність:
x (12 - 2 x) (3 x + 9) ≥ 0
x (12 - 2 x) (3 x + 9) = 0;
x = 0;
12 - 2 x = 0 ⇒ 2 x = 12 ⇒ x = 6;
3 x + 9 = 0 ⇒ 3 x = -9 ⇒ x = -3.
x ≥ 6 ⇒ f (x) = x (12 - 2 x) (3 x + 9) → (+) · (-) · (+) = (-) <0;
x ∈ (-∞ -3] ∪ [0; 6].
- Тест за методом інтервалів для строгих нерівностей
- Метод інтервалів: рішення найпростіших строгих нерівностей
- Локальна теорема Муавра - Лапласа
- Правила обчислення похідних
- Специфіка роботи з логарифмами в завданні B15
- Як вирішувати біквадратне рівняння
- Безкоштовна підготовка до ЄДІ 7 простих, але дуже корисних уроків + домашнє завдання
