Медіана трикутника є його висотою, трикутники
Який висновок можна зробити з того, що медіана трикутника є його висотою.
Якщо медіана трикутника є його висотою, то цей трикутник - рівнобедрений.
CF - висота і медіана
Δ ABC - рівнобедрений.
Спочатку визначимо план докази. Що означає, що трикутник рівнобедрений? Це означає, що у нього дві сторони рівні. Значить, нам треба довести, що в Δ ABC дві сторони рівні: AC = BC. Рівність сторін випливає з рівності трикутників. Отже, нам потрібно буде довести рівність двох трикутників. Яких? Δ AFC і Δ BFC.
Що нам відомо їх умови задачі? CF - висота, значить, СF перпендикулярна AB, тому кути AFC і BFC - прямі.
Ще знаємо, що CF - медіана. Значить, вона ділить боку AB на дві рівні частини: AF = BF. Таким чином, два пункти з трьох для доказу рівності трикутників вже є.
Цей прийом дозволяє побачити, що сторона СF - загальна.
Три пункту є.
Переходимо до запису докази.
Розглянемо Δ AFC і Δ BFC.
1) ∠AFC = ∠BFC = 90º (так як CF - висота трикутника ABC за умовою).
2) AF = BF (так як CF - медіана трикутника ABC за умовою).
3) Сторона CF - загальна.
Отже, Δ AFC = Δ BFC (по двох сторонах і куту між ними).
З рівності трикутників випливає рівність відповідних сторін: AC = BC. Значить, Δ ABC - рівнобедрений з основою AB (за визначенням рівнобедреного трикутника).
Що й потрібно було довести.
Якщо в трикутнику всі висоти і медіани збігаються, то трикутник - рівносторонній (кожні дві сторони між собою рівні, отже, рівні всі три сторони).