Математичні вираженіяs-kuz - сергей ковалів - репетитор з математики

Що таке вираз в математиці? Навіщо потрібні перетворення виразів?

Питання, як то кажуть, цікавий ... Справа в тому, що ці поняття - основа всієї математики. Вся математика складається з виразів і їх перетворень. Не дуже зрозуміло? Поясню.

Припустимо, перед вами злий приклад. Дуже великий і дуже складний. Припустимо, ви сильні в математиці і нічого не боїтеся! Чи зможете відразу дати відповідь?

Вам доведеться вирішувати це приклад. Послідовно, крок за кроком, цей приклад спрощувати. За певними правилами, природно. Тобто робити перетворення виразів. Наскільки успішно ви проведете ці перетворення, настільки ви і сильні в математиці. Якщо ви не вмієте робити правильні перетворення, в математиці ви не зможете зробити ні-чо-го ...

Щоб уникнути такого незатишного майбутнього (або справжнього ...), не заважає розібратися в цій темі.)

Для початку з'ясуємо, що таке вираз в математиці. Що таке числове вираження і що таке вираження алгебри.
Що таке вираз в математиці?

Вираз в математиці - це дуже широке поняття. Практично все те, з чим ми маємо справу в математиці - це набір математичних виразів. Будь-які приклади, формули, дробу, рівняння і так далі - це все складається з математичних виразів.

3 + 2 - це математичний вираз. С2 d2 - це теж математичний вираз. І здоровущій дріб, і навіть одне число - це все математичні вирази. Рівняння, наприклад, ось таке:

складається з двох математичних виразів, з'єднаних знаком рівності. Одне вираз - зліва, інше - справа.

У загальному вигляді термін «математичний вираз» застосовується, частіше за все, щоб не мукати. Запитають вас, що таке звичайна дріб, наприклад? І як відповісти ?!

Перший варіант відповіді: «Це ... м-м-м-м ... така штука ... в якій ... А можна я краще напишу дріб? Вам яку? »

Другий варіант відповіді: «Звичайна дріб - це (бадьоро і радісно!) Математичний вираз, який складається з чисельника і знаменника!»

Другий варіант якось солідніше буде, правда?)

Ось в цих цілях фраза «математичний вираз» дуже хороша. І правильно, і солідно. Але для практичного застосування треба добре розбиратися в конкретних видах виразів в математиці.

Конкретний вид-це інша справа. Це зовсім інша справа! У кожного виду математичних виразів є свій набір правил і прийомів, який необхідно використовувати при вирішенні. Для роботи з дробом - один набір. Для роботи з тригонометричними виразами - другий. Для роботи з логарифмами - третій. І так далі. Десь ці правила збігаються, десь - різко відрізняються. Але не лякайтеся цих страшних слів. Логарифми, тригонометрію і інші загадкові речі ми будемо освоювати в відповідних розділах.

Тут ми освоїмо (або - повторимо, кому як ...) два основних види математичних виразів. Числові вирази і алгебраїчні вирази.

Числові вирази.

Що таке числове вираз? Це дуже просте поняття. Сама назва натякає, що цей вислів з числами. Саме так воно і є. Математичний вираз, складене з чисел, дужок і знаків арифметичних дій називається числовим виразом.

7-3 - числове вираження.

(8 + 3,2) · 5,4 - теж числове вираження.

І ось цей монстр:

теж числове вираження, так ...

Звичайне число, дріб, будь-який приклад на обчислення без іксів і інших букв - все це числові вирази.

Головна ознака числового виразу - в ньому немає букв. Ніяких. Тільки числа і математичні значки (якщо треба). Все просто, правда?

І що можна робити з числовими виразами? Числові вирази, як правило, можна вважати. Для цього доводиться, буває, розкривати дужки, міняти знаки, скорочувати, міняти місцями доданки - тобто робити перетворення виразів. Але про це трохи нижче.

Тут же ми розберемося з таким кумедним випадком, коли з числовим виразом нічого робити не треба. Ну ось зовсім нічого! Ця приємна операція - нічого не робити) - виконується, коли вираз не має сенсу.

Коли числове вираз не має сенсу?

Ясна річ, якщо ми бачимо перед собою якусь абракадабру, типу

то робити нічого і не будемо. Так як незрозуміло, що з цим робити. Нісенітниця якась. Хіба що, порахувати кількість плюсиков ...

Але бувають зовні цілком благопристойні вираження. Наприклад таке:

Однак, цей вислів теж не має сенсу! З тієї простої причини, що у других дужках - якщо порахувати - виходить нуль. А на нуль ділити не можна! Це заборонена операція в математиці. Стало бути, з цим виразом теж нічого робити не треба. При будь-якому завданні з таким виразом, відповідь буде завжди один: «Вираз не має сенсу!»

Щоб дати таку відповідь, довелося, звичайно, порахувати, що в дужках буде. А іноді в дужках такого понаворочено ... Ну тут вже нічого не поробиш.

Заборонених операцій в математиці не так вже й багато. У цій темі - всього одна. Ділення на нуль. Додаткові заборони, що виникають в коренях і логарифмах обговорюються у відповідних темах.

Отже, уявлення про те, що таке числовий вираз - отримали. Поняття числове вираз не має сенсу - усвідомили. Їдемо далі.

Алгебраїчні вирази.

Якщо в числовому вираженні з'являються літери - це вираз стає ... Вираз стає ... Так! Воно стає алгебраїчним виразом. наприклад:

5А2; 3x-2y; 3 (z-2); 3,4m / n; x2 + 4x-4; (А + b) 2; ...

і так далі, до нескінченності ...)

Ще такі вирази називають літерними виразами. Або виразами зі змінними. Це, практично, одне і те ж. Вираз 5а + с, наприклад - і буквене, і алгебраїчне, і вираз із змінними.

Поняття вираження алгебри - більш широке, ніж числове. Воно включає в себе і все числові вирази. Тобто числовий вираз - це теж вираження алгебри, тільки без букв. Будь-оселедець - риба, але не всяка риба - оселедець ...)

Чому буквене - зрозуміло. Ну, раз літери є ... Фраза вираз зі змінними теж не сильно спантеличує. Якщо розуміти, що під буквами ховаються числа. Всякі числа можуть ховатися під літерами ... І 5, і -18, і все, що завгодно. Тобто букву можна замінювати на різні числа. Тому букви і називаються змінними.

У вираженні у + 5, наприклад, у - змінна величина. Або кажуть просто «змінна», без слова «величина». На відміну від п'ятірки, яка - величина постійна. Або просто - постійна.

Термін вираження алгебри означає, що для роботи з даним виразом потрібно використовувати закони і правила алгебри. Якщо арифметика працює з конкретними числами, то алгебра - з усіма числами разом.

Простий приклад для пояснення.

У арифметиці можна записати, що

Порахувати, та й по всьому. Зліва 8, і справа 8. А для інших чисел така рівність виконується? Теж можна записати і порахувати. Але чисел - нескінченна кількість ... І що, кожен раз вважати ?!

А ось якщо ми подібне рівність запишемо через алгебраїчні вирази:

ми відразу вирішимо всі питання. Для всіх чисел махом. Для всього нескінченної кількості. Тому, що під літерами а і b маються на увазі всі числа. І не тільки числа, але навіть і інші математичні вирази. Ось так працює алгебра.

Коли вираження алгебри не має сенсу?

Про числове вираження все зрозуміло. Там на нуль ділити не можна. А з буквами, хіба можна дізнатися, на що ділимо ?!

Візьмемо для прикладу ось такий вислів зі змінними:

Має воно сенс? Так хто ж його знає? а - будь-яке число ...

Будь-яке-то будь-який ... Але є одне значення а, при якому цей вислів точно не має сенсу! І що це за число? Так! Це 5! Якщо змінну а замінити (кажуть - «підставити») на число 5, в дужках нуль вийде. На який ділити не можна. Ось і виходить, що наше вираз не має сенсу, якщо а = 5. Але при інших-то значеннях а сенс є? Інші числа підставляти-то можна?

Звичайно. Просто в таких випадках кажуть, що вираз

має сенс для будь-яких значень а, крім а = 5.

Весь набір чисел, які можна підставляти в заданий вираз, називається областю допустимих значень цього виразу.

Як бачите, нічого хитрого немає. Дивимося на вираз зі змінними, так міркуємо: при якому значенні змінної виходить заборонена операція (поділ на нуль)?

А потім обов'язково дивимося на питання завдання. Чого питають щось?

Якщо запитують, при якому значенні змінної вираз не має сенсу, наше заборонене значення і буде відповіддю.

Якщо запитують, при якому значенні змінної вираз має сенс (відчуйте різницю!), Відповіддю будуть всі інші числа, крім забороненого.

Навіщо нам зміст виразу? Є він, немає його ... Яка різниця. Справа в тому, що це поняття стає дуже важливим в старших класах. Вкрай важливим! Це основа для таких солідних понять, як область допустимих значень або область визначення функції. Без цього ви взагалі не зможете вирішувати серйозні рівняння або нерівності. Ось так.

Перетворення виразів. Тотожні перетворення.

Ми познайомилися з числовими і алгебраїчними виразами. Зрозуміли, що означає фраза «вираз не має сенсу». Тепер треба розібратися, що таке перетворення виразів. Відповідь проста, до неподобства.) Це будь-яка дія з виразом. І все. Ви ці перетворення робили з першого класу.

Візьмемо круте числове вираз 3 + 5. Як його можна перетворити? Та дуже просто! порахувати:

Ось цей розрахунок і буде перетворенням вираження. Можна записати те ж саме вираз по-іншому:

Тут ми взагалі нічого не вважали. Просто записали вираз в іншому вигляді. Це теж буде перетворенням вираження. Можна записати ось так:

І це теж - перетворення виразу. Таких перетворень можна наробити скільки хочеш.

Будь-яка дія над виразом, будь-який запис його в іншому вигляді називається перетворенням вираження. І всі справи. Все дуже просто. Але є тут одне дуже важливе правило. Настільки важливе, що його сміливо можна назвати головним правилом всієї математики. Порушення цього правила неминуче призводить до помилок. Вникаємо?)

Припустимо, ми перетворили наше вираз як попало, ось так:

Перетворення? Звичайно. Ми ж записали вираз в іншому вигляді, що тут не так?

Все не так.) Справа в тому, що перетворення «абияк» математику не цікавлять взагалі.) Вся математика побудована на перетвореннях, в яких змінюється зовнішній вигляд, але суть вираження не змінюється. Три плюс п'ять можна записати в якому завгодно вигляді, але це повинно бути вісім.

Перетворення, що не міняють суті вираження називаються тотожними.

Саме тотожні перетворення і дозволяють нам, крок за кроком, перетворювати складний приклад в просте вираження, зберігаючи суть прикладу. Якщо в ланцюжку перетворень ми помилимося, зробимо НЕ тотожне перетворення, далі ми будемо вирішувати вже інший приклад. З іншими відповідями, які не мають відношення до правильних.)

Ось воно і головне правило вирішення будь-яких завдань: дотримання тотожності перетворень.

Приклад з числовими виразом 3 + 5 я привів для наочності. В алгебраїчних виразах тотожні перетворення даються формулами і правилами. Скажімо, в алгебрі є формула:

Значить, ми в будь-якому прикладі можемо замість виразу a (b + c) сміливо написати вираз ab + ac. І навпаки. Це тотожне перетворення. Математика надає нам вибір з цих двох виразів. А вже яке з них писати - від конкретного прикладу залежить.

Ще приклад. Одне з з найголовніших і потрібних перетворень - це основна властивість дробу. Детальніше можна за посиланням подивитися, а тут просто нагадаю правило: якщо чисельник і знаменник дробу помножити (поділити) на одне і те ж число, або нерівне нулю вираз, дріб не зміниться. Ось вам приклад тотожних перетворень по цій властивості:

Як ви, напевно, здогадалися, цей ланцюжок можна продовжувати до нескінченності ...) Дуже важлива властивість. Саме воно дозволяє перетворювати всякі монстри-приклади в білі і пухнасті.)

Формул, які задають тотожні перетворення, - багато. Але найголовніших - цілком розумне кількість. Одне з базових перетворень - розкладання на множники. Воно використовується в усій математиці - від елементарної до вищої. З нього і почнемо. У наступному уроці.)