Математічеcкіе софізми

Математичний парадокс можна визначити як істину. настільки суперечить нашим досвідом, інтуїції і здоровому глузду, що в неї важко повірити навіть після того, як ми крок за кроком простежимо все її доказ. Математичним софізмом прийнято називати не менш дивовижні затвердження, в доказах яких на відміну від докази парадоксів криються непомітні, а часом і досить тонкі помилки. У будь-якій області математики - від простої арифметики до сучасної теоретико-множинної топології - є свої псевдодоказательства, свої софізми. У кращих з них міркування з ретельно замаскованою помилкою дозволяють приходити до найнеймовірніших висновками.

Наш перший софізм дуже простий. Ми предпошлем йому цікавий парадокс, на прикладі якого великий німецький математик Давид Гільберт любив пояснювати незвичайні властивості найменшого з трансфінітних чисел «Алеф-нуль». Якось раз господареві однієї чудової готелі з нескінченним, але рахунковим числом номерів, жоден з яких не був вільний, потрібно було прийняти нового гостя. Господар вийшов з положення дуже просто: кожного зі своїх постояльців він переселив в кімнату, номер якої був на одиницю більше номера колишньої кімнати, в результаті чого мешканець n -й кімнати переїхав в (n + 1) -ю і звільнив для нового гостя найпершу кімнату. Як може вчинити господар, якщо прибуде безліч нових гостей? Нітрохи не бентежачись, господар переселяє всіх своїх колишніх постояльців в кімнати з удвічі більшими номерами (гість з кімнати 1 переїжджає в кімнату 2, гість з кімнати 2 - в кімнату 4, гість з кімнати 3 - в кімнату 6, гість з кімнати 4 - в кімнату 8 і т. д.) і розміщує новоприбулих в звільнилися кімнатах з непарними номерами.

Але так чи необхідно господареві мати рахункове число кімнат для того, щоб розмістити нових гостей? У наведених нижче Стішов, взятих з одного англійського журналу, що виходив в минулому столітті, розповідається про хитрого господаря готелю, що зумів розмістити в дев'яти номерах десять гостей так, що кожному з них дісталося по окремій кімнаті.

Їх було десять диваків,
Тих супутників втомлених,
Що в двері вирішили постукати
Таверни «Славний малий».

- Пусти, господар, ночувати,
Чи не будеш ти зі збитками,
Нам тільки нічку переспати,
Промокли ми до нитки.

Господар тим гостям був радий,
Та ось біда недоречно:
Лише дев'ять кімнат у нього
І дев'ять лише ліжок.

- Восьми гостям я запропоную
Ліжку честь по честі,
А двом доведеться ніч проспати
В одному ліжку разом.

Лише він сказав, і відразу крик,
Від гніву червоні особи:
Ніхто з усіх десятьох
Не хоче потіснитися.

Як охолодити пристрастей тих запал,
Стримати ті хвилювання?
Але старий шахрай господар був
І дозволив сумніву.

Двох перших подорожніх поки,
Щоб не судили строго,
Просив пройти він в номер «А»
І почекати трохи.

Спав третій в «Б», четвертий в «В»,
В «Г» спав всю ніч наш п'ятий,
У «Д», «Е», «Ж», «3» знайшли нічліг
З шостого по дев'ятий.

Потім, повернувшись знову в «А»,
Де чекали його двоє,
Він ключ від «І» вручити був радий
Десятому герою.

Хоч багато років з тих пір пройшло,
Неясно нікому,
Як зміг господар розмістити
Гостей по одному.

Іль арифметика стара,
Іль диво перед нами,
Зрозуміти, що, як і чому,
Ви постарайтеся самі.

Прикладом більш тонкого математичного софізму є наступна «алгебраїчне» доказ того, що будь-яке число а так само меншому числу b.

Почнемо з рівності

Помноживши обидві його частини на a - b. отримаємо

Перенесемо ас в ліву частину:

і розкладемо на множники:

Розділивши обидві частини рівності на а - b - c. знайдемо

що й потрібно було довести.

Багато неприємностей підстерігає того, хто необережно звертається з уявною одиницею i (квадратним коренем з -1). Про це свідчить хоча б наступне дивовижне «доказ» рівності 1 = -1:

Мал. 82. Трикутник Керрі.

У планіметрії велика частина помилкових доказів пов'язана з використанням неправильних креслень. Розглянемо, наприклад, дивовижне «доказ» того, що площа лицьової сторони багатокутника. вирізаного з паперу, відрізняється від площі зворотного боку того ж багатокутника. Це «доказ» придумано лікарем-психіатром Л. Восбургом Ліонс, в ньому використовується один цікавий принцип, відкритий П. Керрі.

Перш за все накреслив на листку паперу в клітку трикутник, площа якого дорівнює 60 клітинам (рис. 82), і разрежем його вздовж прямих, показаних на верхньому малюнку. Перевернувши частини трикутника на іншу сторону і склавши з них трикутник, зображений на рис. 82 в середині, ми виявимо, що в центрі нового трикутника з'явилася дірка площею в 2 клітини. Інакше кажучи, сумарна площа частин вихідного трикутника при перевертанні зменшилася до 58 клітин! Перевернувши ще раз (лицьовою стороною вгору) лише три частини вихідного трикутника, ми зможемо скласти з усіх шести частин фігуру, зображену на рис. 82 внизу. Її площа дорівнює 59 клітинам. Щось тут не так, це ясно, але що саме?

Теорія ймовірностей рясніє правдоподібними, але логічно не бездоганними міркуваннями. Припустимо, що ви зустрілися зі своїм другом Джоном і що кожен з вас носить той краватку, який ваша дружина подарувала йому на Різдво. Ви починаєте сперечатися про те, чий краватку дорожче, і в кінці кінців вирішуєте піти в магазин, де були куплені краватки, і дізнатися, скільки коштує кожен з них. Той, хто виграє (чий краватку виявиться дорожче), за умовою парі повинен віддати свою краватку тому, хто програв, щоб пом'якшити гіркоту поразки.

Ви міркуєте так: «Шанси виграти і програти у мене однакові. Вигравши, я збіднію на суму, рівну вартості мого краватки. Програвши, я отримаю дорожчий краватку. Отже, уклавши парі. я опинюся в більш вигідному становищі, ніж мій приятель ».

Зрозуміло. ніщо не заважає Джону міркувати точно так же. Чи можуть обидві сторони, які уклали парі, мати перевагу один перед одним?

Один з найбільш вражаючих парадоксів топології полягає в тому, що тор (поверхня бублика), якщо його поверхня розтягувати (не пориваючи при цьому), можна вивернути навиворіт через будь-яку як завгодно малу дірочку. Ніякої проблеми тут немає. Але вже якщо тор дійсно можна вивернути навиворіт, то слід звернути увагу і ще на один, мабуть, навіть більше чудовий факт.

Мал. 83. Якщо тор вивернути навиворіт, то здається, що кільця, намальовані на його поверхні, расцепляются.

На зовнішній стороні тора проведемо меридіан (мал. 83, вгорі). На внутрішній стороні того ж тора проведемо паралель. Обидві ці кола, очевидно, зчеплені між собою. Вивернемо тепер тор навиворіт через дірочку в його поверхні. Як видно з нижнього малюнка, перша окружність перейде з зовнішньої поверхні тора всередину, а друга - назовні, і обидві окружності виявляться розчепленими! Очевидно. що це порушує фундаментальний топологічний закон, який говорить: розділити дві зчеплені замкнуті криві можна, лише розірвавши одну з кривих і протягнувши через місце розриву другу.

У нашому останньому софізм, запозичений із елементарної теорії чисел, мова піде про порівняльні достоїнства «цікавих» чисел. Зрозуміло. числа можуть представляти інтерес з різних точок зору. Так, для Джорджа Мура, коли він писав свою знамениту оду тридцятирічної жінки, особливий інтерес представляло число 30 - Мур вважав, що в цьому віці заміжні жінки особливо привабливі. Для фахівця з теорії чисел число 30 являє, мабуть. ще більший інтерес, оскільки це найбільше з чисел, що володіють тим властивістю, що всі менші числа, які не мають з ними спільних дільників, про-сти. Числа 15 873 також цікаво: якщо його помножити сну-чала на будь-яку цифру, тобто на будь-який з чисел від 1 до 9, а потім на 7, то результат буде складатися з повторень обраної для першого множення цифри. Ще більш дивними властивостями володіє число 142 857 до неї: Сильно його на числа від 1 до 6, ви будете отримувати циклічні перестановки одних і тих же шести цифр.
Виникає питання: чи існують нецікаві числа? За допомогою елементарних міркувань неважко довести, що нецікавих чисел немає. Якби нудні числа існували, то все числа можна було б розбити на два класи: цікаві числа і неінте-вій, нудні числа. У безлічі нецікавих чисел знайшлося б одне число, яке було б найменшим з усіх нецікавих чисел. Але найменше з усіх нецікавих чисел - це вже число саме по собі цікаве. Тому ми повинні були б вилучити його з безлічі нецікавих чисел і перевести в інше безліч. В останньому безлічі в свою чергу знайшлося б найменше число. Повторюючи цей процес досить довго, можна зробити ін-тересним будь нецікаве число.

Найбільше занепокоєння Новомосковсктелям доставив софізм з вивернутим навиворіт тором. Тор дійсно можна вивернути навиворіт, але це змінює його орієнтацію. В результаті обидві окружності міняються місцями і залишаються в зачепленні. Якщо відрізати нижню частину панчохи і зшити кінці в трубку, вийде превос-вихідна модель тора. На ній нитками різних кольорів можна про-стягують меридіан і паралель. Такий тор легко вивернути через дірочку в поверхні, при цьому чудово видно все, що від-ходить з меридіаном і паралеллю.

Алгебра - один з великих розділів математики, що належить поряд з арифметикою і геометрією до числа найстаріших гілок цієї науки. Завдання, а також методи А. відрізняють її від інших галузей математики, створювалися поступово, починаючи з давніх-давен. Алгебра виникла під впливом потреб суспільної практики, в результаті пошуків загальних прийомів для вирішення однотипних арифметичних задач. Прийоми ці полягають зазвичай в складанні і вирішенні рівнянь. Тобто алгебраїчні софізми - навмисно приховані помилки в рівняннях і числових виразах.
1. «Два неоднакових натуральних числа рівні між собою»
вирішимо систему двох рівнянь:

Зробимо це підстановкою у з 2го рівняння в 1, отримуємо х + 8-х = 6, отку-да 8 = 6
Де ж помилка.

2. «Негативне число більше позитивного».
Візьмемо два позитивних числа а і с. Порівняємо два відносини:
а / -c і -а / c
Вони рівні, так як кожне з них одно - (а / с). Можна скласти пропорцію: a / -c = -a / c
Але якщо в пропорції попередній член першого відносини більше подальшого, то попередній член другого відносини також більше свого подальшого. У нашому випадку а> -з, следо-вательно, має бути -а> с, тобто негативне число більше позитивного.
Де помилка.

3. «Двічі по два дорівнює п'яти».

Позначимо 4 = а, 5 = b, (a + b) / 2 = d. Маємо: a + b = 2d, a = 2d-b, 2d-a = b. перемножимо два останніх рівності по частинах. Отримаємо: 2da-a * a = 2db-b * b. Помножимо обидві частини отриманого рівності на -1 і додамо до результатів d * d. Будемо мати: a 2-2da + d2 = b2 -2bd + d2, або (a-d) (a-d) = (b-d) (b-d), звідки a-d = b-d і a = b, тобто 2 * 2 = 5
Де помилка.

Крім математичних софізмів. існує безліч інших, наприклад: логічні, термінологічні, психологічні і т.д. Зрозуміти абсурдність таких тверджень простіше, але від цього вони не стають менш цікавими. Дуже багато софізми виглядають як позбавлена ​​сенсу і мети гра з мовою; гра, яка спирається на багатозначність мовних виразів, їх неповноту, недомовленість, залежність їх значень від контексту і т.д. Ці софізми здаються особливо наївними і несерйозними.

«Напівпорожні і полуполний»
«Напівпорожні є те саме, що і полуполний. Якщо рівні половини, значить, рівні й цілі. Отже, пусте є те саме, що і повне ».

«Парне і непарне»
«5 є 2 + 3 (« два і три »). Два - число парне, три - непарне, виходить, що п'ять - число і парне і непарне. П'ять не ділиться на два, також, як і 2 + 3, значить, обидва цифри не парні! »

«Не знаєш то, що знаєш»
«Чи знаєш ти, про що я хочу тебе запитати?» - «Ні». - «Чи знаєш ти, що чеснота є добро?» - «Знаю». - «Про це я і хотів тебе запитати. А ти, виходить, не знаєш то, що знаєш ».

«Ліки»
«Ліки, прийняте хворим, є добро. Чим більше робити добра, тим краще. Значить, ліків потрібно приймати якомога більше ».

«Найшвидше істота не здатна наздогнати саме повільне»
Прудконогий Ахіллес ніколи не наздожене повільну черепаху. Поки Ахіллес добіжить до черепахи, вона просунеться трохи вперед. Він швидко подолає яку, але черепаха піде ще трішки вперед. І так до нескінченності. Всякий раз, коли Ахіллес буде досягати місця, де була перед цим черепаха, вона буде надаватися хоча б трохи. але попереду.

«Немає кінця»
Рухомий предмет повинен дійти до половини свого шляху перш, ніж він досягне його кінця. Потім він повинен пройти половину половини,, потім половину цієї четвертої частини і т.д. до нескінченності. Предмет буде постійно наближатися до кінцевої точки, але так ніколи її не досягне.

Велика маса дрібних, просяних наприклад, зерен при падінні на землю завжди виробляє шум. Він складається з шуму окремих зерен, і, отже, кожне зерно і кожна найменша частина зерна повинні, падаючи, вироб-дить шум. Однак окреме зерно падає на землю абсолютно безшумно. Значить, і падаючий на землю медимн зерна не повинен був би робити шум, адже він складається з безлічі зерен, кожне з яких падає безшумно. Але все-таки медимн зерна падає з шумом!

«Чи може всемогутній маг створити камінь, який не зможе підняти?»
Якщо не може - значить, він не всемогутній. Якщо може - значить, все одно не всемогутній, тому що він не може підняти це камінь. «Рівний чи повний стакан порожньому?»
Так. Проведемо міркування. Нехай є стакан, наповнений водою до половини. Тоді можна сказати, що стакан, наполовину повний дорівнює склянці. наполовину порожньому. Збільшуючи обидві частини рівності вдвічі, отримаємо, що стакан повний дорівнює склянці порожньому.

«Софізм Кратила»
Діалектик Геракліт, проголосивши тезу "все тече", пояснював, що в одну і ту ж річку (образ природи) не можна увійти двічі, бо коли вхідний буде входити в наступний раз, на нього буде текти вже інша вода. Його учень Кратил, зробив з утвердження вчителя інші висновки: в одну і ту ж річку не можна увійти навіть один раз, бо поки ти входиш, вона вже зміниться.

Еватл брав уроки софістики у софіста Протагора під тією умовою, що гонорар він сплатить тільки в тому випадку, якщо виграє перший процес. Учень після навчання не взяв на себе ведення будь-якого процесу і тому вважав за можливе не платити гонорару. Учитель погрожував подати скаргу в суд, кажучи йому наступне: "Судді або присудять тебе до сплати гонорару або не присуджено. В обох випадках ти повинен будеш сплатити. У першому випадку в силу вироку судді, у другому випадку в силу нашого договору". На це Еватл відповідав: "Ні в тому, ні в іншому випадку я не заплачу. Якщо мене присудять до сплати, то я, програвши перший процес, не заплачу в силу нашого договору, якщо ж мене не присудять до сплати гонорару, то я не заплачу в силу вироку суду ". (Помилка стає зрозумілою, якщо ми окремо поставимо два питання: 1) чи повинен Еватл платити чи ні і 2) виконані чи умови договору чи ні.)

приклади софізмів, сформульованих ще в стародавній Греції:

«Чоловік, який встав; хто встав, той стоїть; отже, сидить варто ».

«Сократ - людина; людина - не те ж саме, що Сократ; значить, Сократ - це щось інше. ніж Сократ ».

«Для того щоб бачити, зовсім необов'язково мати очі, адже без правого ока ми бачимо, без лівого теж бачимо; крім правого і лівого, інших очей у нас немає; тому ясно, що очі не є необхідними для зору ».

«Той, хто бреше, каже про справу, про який йде мова, або не говорить про нього; якщо він говорить про справу, він не бреше; якщо він не говорить про справу, він говорить про щось неіснуюче, а про нього неможливо не тільки брехати, але навіть думати і говорити ».

«Якщо якась людина каже, що він бреше, то бреше він або говорить правду?» Допущення того, що він говорить правду, буде означати, що правдою є те. що він бреше (про це він і говорить), значить, виходить, що бреше. Якщо ж він бреше, то це якраз і є те, що він відкрито визнає. Виходить, що він говорить правду ».

приклади сучасних софизмов:

«Одна і та ж річ не може мати якесь властивість і не мати його. Госпрозрахунок передбачає самостійність, зацікавленість і відповідальність. Зацікавленість - це, очевидно, не відповідальність, а відповідальність - не самостійна. Виходить всупереч сказаному спочатку, що госпрозрахунок включає самостійність і несамостійність, відповідальність і безвідповідальність ».

«Акціонерне товариство, яке отримало колись позику від держави, тепер йому вже не має, так як воно стало іншим: в його правлінні не залишилося нікого з тих, хто просив позику».