Квадратична форма матриці

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

Нехай є довільний вектор-стовпець, що складається з n числових елементів, тобто . а квадратна матриця A має розмір.

Вираз. де. називається квадратичною формою матриці A. З визначення операцій множення матриць і транспонування слід, що.

Якщо для будь-якого вектор-стовпця квадратична форма матриці A задовольняє умові. то така матриця називається позитивно (негативно) певною.

Приклад 1.8. 1) Матриця позитивно визначена, оскільки її квадратична форма для будь-якого:

2) Матриця негативно визначена, оскільки її квадратична форма для будь-якого:

Числові функції від матриць

Наведемо кілька числових функцій від матриць, що застосовуються в різних математичних моделях економіки.

Слідом матриці A називається сума елементів її головної діагоналі:. Слід визначено тільки для квадратних матриць.

l1-нормою квадратної матриці А називається величина.

Евклідовій нормою або l2-нормою квадратної матриці А називається величина.

Рангом матриці називається найбільше число її лінійно незалежних стовпців або рядків.

1.1.Доказать наступні властивості алгебраїчних операцій над матрицями:

Нехай. . Обчислити такі вирази:

Нехай. Обчислити такі вирази

1.7. Нехай. . Знайти матриці і з рівнянь; .

1.8. Для матриць A і B. заданих в 1.7, вирішити наступні системи рівнянь щодо матриць і:

. Обчислити такі вирази:

1.11. Знайти твір. якщо:

1.12. Знайти твори і. якщо:

1.13. Для матриць A і B. заданих в 1.7, вирішити наступні системи рівнянь щодо матриць і:

1.14. Знайти. якщо.

1.15. Нехай. Знайти значення виразів: а); б); в); г); д).

а); б); в); г); д); е).

1.17. Обчислити для матриць і вирази:

1.18. Знайти всі матриці другого порядку, квадрати якої рівні нульової матриці.

1.19. Знайти всі матриці другого порядку, квадрати якої рівні одиничної матриці.

1.20. Як зміниться добуток матриць A і B. якщо:

а) переставити i -ю та j -ю рядки матриці A;

б) до i -му рядку матриці додати її j -ю рядок, помножену на число;

в) переставити i -й і j -й стовпці матриці B;

г) до i -му стовпцю матриці B додати її j -й стовпець, помножений на число.

1.21. Користуючись властивостями елементарних перетворень матриць, знайти матрицю X з рівнянь:

Користуючись властивостями елементарних перетворень матриць, вирішити наступні системи рівнянь щодо матриць X і Y:

Користуючись властивостями елементарних перетворень матриць, вирішити систему рівнянь щодо матриць X. Y і Z:

1.25. Знайти всі матриці, перестановки з даної;

а); б); в); г).

1.26. Довести співвідношення:

1.27. Обчислити і для заданих матриць A:

а); б); в); г);

1.28. Обчислити для. . такі вирази:

а); б); в); г).

1.29. Знайти алгебраїчні вирази для квадратичних форм заданих матриць:

1.30. Обчислити значення квадратичних форм матриць:

1.31. Нехай. Вирішити щодо рівняння: а). якщо; б). якщо.

1.32. З'ясувати тип визначеності матриць:

а); б); в); г).