Кут між перехресними прямими

Дві пересічні прямі утворюють суміжні і вертикальні кути. Вертикальні кути рівні, а суміжні кути доповнюють один одного до 180 ° .Угловая міра меншого з них називається кутом між прямими. Кут між перпендикулярними прямими дорівнює 90 ° за визначенням. Кут між паралельними прямими вважаємо рівним нулю.

Кутом між перехресними прямими називається кут між пересічними прямими, які паралельні даними перехресних прямих.

Цей кут не залежить від того, які взяті пересічні прямі. Доведемо це.

Нехай а1 b1 - пересічні в точці А прямі, паралельні даними перехресних прямих а і b (рис. 388). Нехай А2 b2 - інші прямі, паралельні даними і пересічні в точці В. По теоремі 16.2 прямі а1 і a2 паралельні (або збігаються) і прямі b1 і b2 паралельні (або збігаються).

Виконаємо паралельне перенесення, при якому точка А переходить в точку В. Так як при паралельному перенесенні кожна пряма переходить або в себе, або в паралельну пряму, то зазначений паралельний перенос переводить пряму а1 в пряму А2. а пряму b1 в пряму b2. Так як паралельний перенесення зберігає величину кута, то кут між прямими а1 і b1 дорівнює куту між прямими a2 і b2. А це і було потрібно довести.

За даним раніше визначенню перпендикулярними називаються прямі, що перетинаються під прямим кутом. Однак іноді перехресні прямі теж називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90 °.

Завдання (33). Доведіть, що будь-яка пряма на площині. перпендикулярна проекції похилій на цю площину, перпендикулярна і похилій. І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна похилій, то вона перпендикулярна і проекції похилій.

Рішення. Нехай АВ - перпендикуляр до площини. АС - похила і с - пряма в площині. перпендикулярна ВС (рис. 389). Проведемо через підставу З похилій пряму c1 LLС.
По теоремі про три перпендикуляри c1 перпендикулярна похилій АС. А так як кут між прямою с і похилій АС дорівнює куту між прямими АС і c1. то пряма з теж перпендикулярна похилій АС.

Зворотно: якщо пряма з перпендикулярна похилій АС, то пряма с, теж перпендикулярна їй, а значить, по теоремі про три перпендикуляри і її проекції ВС. Так як з || c1. то з ВС.

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Якщо у вас є виправлення або пропозиції до даного уроку, напишіть нам.

Якщо ви хочете побачити інші коригування та побажання до уроків, дивіться тут - Освітній форум.