кратність коренів

Нехай розкладання полінома на лінійні множники

Серед можуть бути збігаються. Якщо вони є, то

де. а серед немає співпадаючих.

Визначення 10.2. Якщо. то корінь називається кратним коренем кратності. якщо то корінь називається простим.

Завдання 2. Чи має даний поліном кратний корінь? Якщо так, то яка його кратність?

Теорема 10.1. Нехай - кратний корінь кратності полінома. Тоді є кратним коренем кратності.

Зауваження 10.2. можна також знайти за алгоритмом Евкліда.

Отже, для того, щоб відповісти на питання «чи має даний поліном кратний корінь?», Необхідно знайти. Якщо. то «ні», інакше - «так».

якщо корінь # 955; полінома відомий, то його кратність можна знайти за допомогою схеми Горнера.

Щоб відповісти на питання «яка кратність кореня?», Побудуємо послідовність:

має тільки прості коріння; ці корені будуть корінням кратності r полінома.

можна знайти коріння. Вони будуть кратними корінням.

Спосіб знаходження всіх кратних коренів

Якщо рівняння досить більшою мірою і його вирішити не вдається, то побудуємо послідовність:

Так продовжуємо до тих пір, поки не знайдеться:

Все коріння полиномов - прості, проте, серед коренів полінома немає простих коренів полінома (т. К. Для простих коренів полінома маємо. А в поліном входять коріння, для яких); серед коренів немає коренів кратності 2 полінома і т. д.

Отже, знайшовши поліноми

отримаємо поліноми. коріння яких прості і є корінням кратності j полінома. і уявлення:

Зауваження 10.3. Якщо поділити на. то підуть ті прості коріння. які містяться в. отже, залишаться тільки ті, які в наступних членах ряду. . не містяться, отже, кратність цих коренів в поліномі дорівнює 1. Якщо поділити на. то залишаться коріння кратності j в поліномі.

Зауваження 10.4. Цей спосіб визначення кратності коренів, їх існування, використовується в разі, коли складно розкласти на лінійні множники.

- кратність 2, - кратність 1.

Зауваження 10.5.Такім чином, схема Горнера використовується:

1) для обчислення при

2) для обчислення полінома при розподілі на лінійний множник

3) для обчислення похідних

4) для розкладання за ступенями

5) для визначення кратності кореня полінома.

Д / з: П 541, 544 (b), 545 (d), 547, 548 (b), 549, 551, 588, 591, 631 (b, c), 634 (b), 636 a), 638, 639 (a, b, c).

Заняття 9. Рішення рівнянь 3-й і 4-го ступеня

Рішення рівнянь 3-го ступеня

(Розділивши, якщо треба, на). замінимо

Покладемо. де поки невідомі величини