Коріння з одиниці

З цих формул випливає, що коріння з одиниці завжди рівно n. і всі вони різні.

геометричні властивості

• Модуль кожного кореня дорівнює 1. На комплексній площині коріння з одиниці утворюють вершини правильного багатокутника. вписаного в одиничну окружність. Однією з вершин завжди є комплексна одиниця 1 + i 0.
• Якщо u k> - корінь з одиниці, то зв'язане до нього число u k ¯ >>> - теж корінь з одиниці.
• Нехай M - довільна точка одиничному колі і n> 1. Тоді сума квадратів відстаней від M до всіх коренів n-го ступеня з одиниці дорівнює 2 n.

алгебраїчні властивості

• Коріння з одиниці являють собою цілі алгебраїчні числа.
• Коріння з одиниці утворюють по множенню комутативну кінцеву групу порядку n. Зокрема, будь-яка ціла ступінь кореня з одиниці теж є коренем з одиниці. Зворотний елемент для кожного елемента цієї групи збігається з сполученим йому. Нейтральним елементом групи є комплексна одиниця.
• Група коренів з одиниці ізоморфна аддитивной групі класів відрахувань Z n _>. Звідси випливає, що вона є циклічною групою; в якості породжує (первісної) можна взяти будь-який елемент u k>. індекс k якого взаємно простий з n.
  • наслідки:
    • елемент u 1> завжди є первісним;
    • якщо n - просте число. то ступеня будь-якого кореня, крім ± 1. охоплюють всю групу;
    • число первісних коренів одно φ (n). де φ - функція Ейлера.
• Якщо n> 1. то для суми ступенів будь-якого первообразного кореня з одиниці u має місце формула:

Σ k = 0 n - 1 u k = u n - 1 u - 1 = 0. ^ u ^ = - 1 >> = 0.>

• Π k = 1 n - 1 | 1 - u k | = N (n> 1) ^ | 1-u_ | = n \ qquad (n> 1)>

Кубічні корені з одиниці

Кубічні корені з одиниці:

Коріння 4-го ступеня з одиниці:

Для кореня 5-го ступеня є 4 породжують елементи:

Коріння 6-го ступеня з одиниці як ступеня першого породжує елемента