коріння полінома

4. Коріння полінома. Кратні коріння. Основна теорема алгебри (ОТА). Теорема Вієта. Багаточлени з речовими коефіцієнтами

Визначення. Число називається коренем полінома, якщо.

В силу теореми Безу це рівнозначно тому, що.

Визначення. Число називається коренем кратності полінома, якщо і. Коріння кратності 1 називаються простими корінням, коріння кратності більше 1 називаються кратними корінням.

Теорема. Якщо - корінь кратності полінома, то - корінь кратності полінома. Якщо - загальний корінь, то - кратний корінь.

Доведення. Нехай - корінь кратності полінома.

1. Якщо, то - корінь кратності многочлена.

2. Якщо корінь, то й, отже, - кратний корінь многочлена.

Основна теорема алгебри

Історію основної теореми алгебри можна прочитати тут.

Теорема. Будь многочлен в поле комплексних чисел має корінь.

Схема докази. Нехай є многочлен

(Будемо вважати рівним 1. Якщо, то поділимо поліном на і отримаємо поліном з тими ж країнами, у якого). Розглянемо безліч точок - коло з центром на початку координат. буде при цьому замкнутої лінією.

1. можна взяти досить малим так, щоб (основний вплив має коефіцієнт) початок координат не входило в область, де значення (, інакше був би корінь).

2. Візьмемо достатньо великим, так, щоб початок координат входило в область, де.

В силу безперервності функція приймає значення 0.

Слідство. Над полем непріводімим тільки поліноми першого ступеня.

- його розкладання над полем комплексних чисел. тоді

\ displaystyle
\ Alpha_1 + \ alpha_2 + \ ldots + \ alpha_n = - \ frac \\ [3mm]
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 + \ alpha_1 \ alpha_3 + \ ldots + \ alpha_ \ alpha_n = \ frac \\ [3mm]
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 \ alpha_3 + \ ldots + \ alpha_ \ alpha_ \ alpha_n = - \ frac \\ [3mm]
\ Ldots \\
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 \ ldots \ alpha_n = (- 1) ^ n \ frac.
\ End "title =" \ begin
\ displaystyle
\ Alpha_1 + \ alpha_2 + \ ldots + \ alpha_n = - \ frac \\ [3mm]
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 + \ alpha_1 \ alpha_3 + \ ldots + \ alpha_ \ alpha_n = \ frac \\ [3mm]
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 \ alpha_3 + \ ldots + \ alpha_ \ alpha_ \ alpha_n = - \ frac \\ [3mm]
\ Ldots \\
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 \ ldots \ alpha_n = (- 1) ^ n \ frac.
\ End "style =" vertical-align: -86px; border: none; ">

Доказ виходить відразу ж розкриттям дужок.

Багаточлени над полем дійсних чисел

Лемма. Нехай - поліном з речовими коефіцієнтами, - комплексне число. Тоді.

Слідство. Якщо - комплексний корінь полінома з речовими коефіцієнтами, то і - корінь.

Теорема. Над полем дійсних чисел непріводімимі є поліноми першого ступеня, поліноми другого ступеня з негативним дискримінантом і тільки вони.

Доведення. Те, що зазначені поліноми непріводімим, очевидно. Доведемо, що інших немає.
Нехай - не приводиться многочлен з дійсними коефіцієнтами,. Тоді не має речових коренів, але він має комплексні корені.

Нехай - один з них. Тоді - інший корінь. Значить,.

- речові числа. Значить, - поліном з речовими коефіцієнтами, і ділиться на. Так як неприводим над, то. - многочлен другого ступеня з негативним дискримінантом, так як в противному випадку можна було б розкласти над.

Слідство. Будь многочлен з дійсними коефіцієнтами (крім констант) можна розкласти над полем на множники першого та другого ступеня.

1. Знайдіть коефіцієнти многочлена третього ступеня зі старшим коефіцієнтом одиницею, що має:

2) корінь 1 кратності 2 і корінь 3.

2. Знайдіть суму квадратів коренів рівняння

3. Відомо, що рівняння

де, має 3 різних цілих негативних кореня. Знайдіть.

4. Відомо, що рівняння

має 3 речових кореня, сума яких дорівнює нулю. Знайдіть.