Ються дробу на елементарні

Лемма 1. Нехай

правильна дріб іa- речовинний корінь многочленаQ (x), т.е.Q (x) = (x-a) Q1 (x), Q1 (a) 0, 1. Тоді существуетAі многочленP1 (x) такі, що

,

де

- правильна дріб.

Доказ: Розглянемо різницю (де A - деякий, поки невизначене число)

.

Дріб справа правильна, так як порядок P (x) і AQ1 (x) менше порядку знаменника. покладемо

, тоді для чисельника число a буде коренем і = (X-a) P1 (x). Якщо цей вислів поділити на Q (x), то вийти необхідну рівність.

Лемма 2. Нехай

правильна дріб іw = u + iv (v0) - комплексний корінь многочленаQ (x), т.е.Q (x) = (x2 + px + q) Q1 (x), Q1 (w) 0,  1. Тоді існують речові чіслаM, NИ многочленP1 (x) з речовими коефіцієнтами такі, що

,

де

- правильна дріб.

Визначення. дробу виду

Теорема. ПустьP (x) / Q (x) - правильна дріб, P, Q- многочлени з дійсними коефіцієнтами, старший коеффіціентQравен 1 і

розкладання многочлена по парно простим коріння

a1, a2, ..., ar, w1, w2, ..., ws, (x-wk) (x-

) = X2 + pkx + qk

кратностей1, ..., r, 1, ..., s. Тоді дробьP (x) / Q (x) може бути представлена ​​у вигляді суми елементарних дробей.Каждому співмножником

буде відповідати сума дробів виду, а кожному співмножниківбуде відповідати сума дробів.

Іншими словамісуществуют речові числа, такі, що справедлива формула

=

+... +++... + (*)

Доведення. За лемі 1

.

Таким чином, у другого доданка

кратність корняa1 в знаменнику знижена на одиницю і до застосовуємо лему 1 ще раз. Повторюючи цю процедуру потрібне число раз ми отримаємо останній доданок, знаменник якого не матиме своїм корнемa1.

=

+.

Точно також чинимо з іншими дійсними коренями знаменника.

=+... ++.

У останнього доданка

знаменник має тільки комплексні коріння і до нього застосовується лема 2. В результаті, з'являється остання серія доданків, відповідних комплексним коріння.

3.Метод невизначених коефіцієнтів

Для знаходження коефіцієнтів розкладання (*) виписують це розкладання з невизначеними коефіцієнтами, призводять праву і ліву частину до спільного знаменника. В отриманому рівність для числителей прирівнюють коефіцієнти при однакових ступенях x. В результаті отримують систему рівнянь для визначення коефіцієнтів розкладання.