Як знайти діагональ правильної призми

Знаходження діагоналі правильної призми часто використовується як проміжний етап при вирішенні більш складних завдань. Загальна формула легко виводиться при розгляді двох прямокутних трикутників.

Інструкція

Для знаходження діагоналі правильної призми вам необхідно розібратися всього в декількох визначеннях.

Призмою називається багатогранник, що має в якості підстав два рівних багатокутника (трикутника, чотирикутника і т.д.), що лежать в паралельних площинах, а в якості бічних граней - паралелограми.
Прямий призмою називається призма, у якої бічні грані-прямокутники.
Правильною призмою називається пряма призма, основи якої є правильними багатокутниками (рівносторонній трикутник, квадрат, і т.д.)
АВСDА1В1С1D1 - Правильна чотирикутна призма.
АА1В1В - бічна грань правильної чотирикутної призми.
Всі чотири бічних межі даної призми рівні.
АВСD і А1В1С1D1 -підстави призми (квадрати, що лежать в паралельних площинах).
Діагоналлю багатогранника називається відрізок, що з'єднує дві його не суміжні вершини, тобто вершини, які не належать одній грані.
З малюнка видно, що точка А і точка С 1 не належать одній грані і отже відрізок АС1 - діагональ даної призми.

Для того щоб знайти діагональ, призми треба розглянути трикутник АСС1. Цей трикутник прямокутний. Діагональ призми АС1 в розглянутому трикутнику буде гіпотенузою, а відрізки АС і СС 1 катетами. З теореми Піфагора (в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів) випливає, що:
АС12 = АС2 + СС12 (1) -

Далі слід розглянути трикутник АСD. Трикутник АСD теж прямокутний (тому що основа призми - квадрат). Для зручності можна позначити сторону підстави буквою а. Таким чином по теоремі Піфагора:
АС2 = А2 + А2, АС = 2а (2) -

Якщо позначити висоту призми буквою h і підставити вираз (2) у вираз (1), вийде:
АС12 = 2А2 + h2, АС1 = (2a ^ 2 + h ^ 2), де а - сторона підстави, h - висота.
Дана формула справедлива для будь-якої правильної призми.

Призмою називається багатогранна геометрична фігура, підставами якої є неконгруентні паралельні багатокутники, а бічними гранями - паралелограма. Знаходження діагоналі призми - однієї з найпоширеніших геометричних фігур в оптиці - приклад того, наскільки взаємопов'язані основні положення геометрії.

Вам знадобиться

• - калькулятор з тригонометричними функціями,
• - рулетка,
• - кутомір.

Інструкція

Призми бувають прямими (бічні грані утворюють прямий кут з підставами) і похилими. Прямі призми діляться на правильні (їх підставами є опуклі багатокутники з рівними сторонами і кутами) і напівправильні (їх межі - правильні багатокутники декількох типів). Розглянемо обчислення діагоналі призми на прикладі паралелепіпеда - одного з видів цього багатогранника.

Діагоналлю призми називається відрізок, що з'єднує вершини двох різних граней. Оскільки, виходячи з визначення призми, її діагоналлю є гіпотенуза трикутника, завдання по знаходженню діагоналі призми зводиться до обчислення однієї зі сторін цього трикутника по теоремі Піфагора. Варіантів рішення, в залежності від вихідних даних може бути кілька.

Якщо відомі величини кутів, які утворює діагональ призми з бічними гранями або підставою, або ж кут нахилу граней призми - катети трикутника обчислюються за допомогою тригонометричних функцій. Само собою, тільки величини кутів недостатньо - зазвичай в задачах додатково наводяться дані, необхідні для обчислення розміру одного з катетів трикутника, гіпотенуза якого є діагоналлю призми. Або ж, якщо мова йде про визначення діагоналі призми що називається по факту - все розміри необхідні для вирішення цього завдання знімаються вручну.

Приклад. Необхідно знайти діагональ правильної чотирикутної призми, якщо відомі площа її підстави і висота.
Визначте розмір сторони підстави. Оскільки підставами такої призми є квадрати, для цього потрібно обчислити квадратний корінь з площі підстави (квадрат - рівносторонній прямокутник).

Обчисліть діагональ підстави. Вона дорівнює стороні підстави помноженої на квадратний корінь з двох.

Гіпотенуза призми буде рівна квадратному кореню з суми квадратів катетів, одним з яких є висота призми, що одночасно є стороною бічної грані, а другим - діагональ підстави.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!