Як розрахувати висоту правильної піраміди

Визначте, чи є піраміда, висоту якої вам необхідно знайти за умовами задачі, правильною. Такий вважається піраміда, у якій підставою є будь-який правильний багатокутник (має рівні сторони), а висота падає в центр підстави.

Перший випадок виникає, якщо в основі піраміди лежить квадрат. Проведіть висоту. перпендикулярну площині підстави. В результаті цього, всередині піраміди вийде прямокутний трикутник. Його гіпотенуза є ребром піраміди, а більший катет - її висотою. Менший катет цього трикутника проходить через діагональ квадрата і чисельно дорівнює її половині. Якщо дано кут між ребром і площиною основи піраміди, а також одна зі сторін квадрата, то висоту піраміди в цьому випадку знайдіть, використовуючи властивості квадрата і теорему Піфагора. Катет дорівнює половині діагоналі. Оскільки сторона квадрата дорівнює a, і при цьому, діагональ дорівнює a√2, знайдіть гіпотенузу трикутника наступним чином: x = a√2 / 2cosα

Відповідно, знаючи гіпотенузу і менший катет трикутника, по теоремі Піфагора виведіть формулу для знаходження висоти піраміди: H = √ [(a√2) / 2cosα] ^ 2 - [(a√2 / 2) ^ 2] = √ [a ^ 2/2 * (1-cos ^ 2α) / √cos ^ 2α] = a * tgα / √2, де [(1-cos ^ 2α) / cos ^ 2α = tg ^ 2α]

Якщо в основі піраміди є правильний трикутник, то її висота буде утворювати з ребром піраміди прямокутний трикутник. Менший катет проходить через висоту підстави. У правильному трикутнику висота одночасно є і медіаной.Із властивостей правильного трикутника відомо, що менший його катет дорівнює a√3 / 3. Знаючи кут між ребром піраміди і площиною основи, знайдіть гіпотенузу (вона ж є ребром піраміди). Висоту піраміди визначте по теоремі Піфагора: H = √ (a√3 / 3cosα) ^ 2 (a√3 / 3) ^ 2 = a * tgα / √3

У деяких пірамід підставою є п'яти- або шестикутник. Така піраміда також вважається правильною, якщо всі сторони її основи дорівнюють. Так, наприклад, висоту п'ятикутника знаходите наступним чином: h = √5 + 2√5a / 2, де a - сторона пятіугольнікаЕтім властивістю скористайтеся для знаходження ребра піраміди, а потім і її висоти. Менший катет дорівнює половині цієї висоти: k = √5 + 2√5a / 4

Відповідно, гіпотенузу прямокутного трикутника знайдіть наступним чином: k / cosα = √5 + 2√5a / 4cosαДалее, як і в попередніх випадках, висоту піраміди знайдіть по теоремі Піфагора: H = √ [(√5 + 2√5a / 4cosα) ^ 2- (√5 + 2√5a / 4) ^ 2]