Як довести, що вектора утворюють базис

Базисом в n-вимірному просторі називається така система з n векторів, коли всі інші вектори простору можна представити у вигляді комбінації векторів, що входять в базис. У тривимірному просторі в будь-який базис входять три вектора. Але не будь-які три утворюють базис, тому і існує задача перевірки системи векторів на можливість побудови з них базису.

- вміння обчислювати визначник матриці

Спонсор розміщення PG Статті за темою "Як довести, що вектора утворюють базис" Як знайти базис Як знайти базис системи векторів Як знайти координати вектора в базисі

Нехай в лінійному n-вимірному просторі існує система векторів e1, е2, е3. еn. Їх координати: e1 = (e11; e21; e31 ;.; en1), е2 = (Е12; е22; Е32 ;.; еn2). еn = (e1n; e2n; e3n ;.; enn). Щоб дізнатися, чи утворюють вони базис в цьому просторі, складіть матрицю за допомогою стовпців e1, е2, е3. еn. Знайдіть її визначник і порівняйте його з нулем. Якщо визначник матриці з цих векторів не дорівнює нулю, то такі вектори утворюють базис в даному n-вимірному лінійному просторі.

Наприклад, нехай дано три вектора в тривимірному просторі a1, a2 і a3. Їх координати: а1 = (3; 1; 4), а 2 = (-4; 2; 3) і а3 = (2; -1; -2). Треба з'ясувати, чи утворюють ці вектора базис в тривимірному просторі. Складіть матрицю з векторів, як показано на малюнку.

Обчисліть визначник отриманої матриці. На малюнку показаний простий спосіб обчислення визначника матриці 3 на 3. Елементи, з'єднані лінією, слід перемножити. При цьому твори, позначені червоною лінією входять в загальну суму зі знаком "+", а з'єднані синьою лінією - зі знаком "-".
det A = 3 * 2 * (- 2) + 1 * 2 * 3 + 4 * (- 4) * (- 1) - 2 * 2 * 4 - 1 * (- 4) * (- 2) - 3 * 3 * (- 1) = -12 + 6 + 16 - 16 - 8 + 9 = -5
-5? 0, отже, а1, а2 і а3 утворюють базис.