Ядро і образ лінійного відображення »лінійна алгебра

п.4. Ядро і образ лінійного відображення.

Визначення. Нехай лінійне відображення векторних просторів. Ядром лінійного відображення f називається множина:

Чином лінійного відображення f називають безліч:

Іншими словами, ядро ​​лінійного відображення складається з векторів простору V, які відображаються в нульовий вектор простору W, а образ лінійного відображення це просто безліч значень функції f.

Якщо f - лінійний оператор, то говорять про ядрі і образі лінійного оператора.

Знайдемо ядро ​​і образ лінійних відображень, розглянутих в прикладах пункту 2.

Приклад 1. Так як нульове відображення всі вектори простору відображає в нульовий вектор простору, то з визначення ядра і образу лінійного відображення відразу ж випливає, що і.

Приклад 2. Нехай:,. Тоді, очевидно,.

Приклад 3. Нехай:,, де А - матриця розміру над полем. тоді,

- безліч рішень однорідної системи з лінійних рівнянь з невідомими, де А - матриця коефіцієнтів системи;

Вивчимо це безліч докладніше. Позначимо через - стовпці матриці А, - стовпець невідомих. Тоді твір матриці А на стовпець Х можна представити у вигляді: - лінійна оболонка, натягнута на стовпці матриці А.

Отже, образ цього лінійного відображення є лінійна оболонка, натягнута на стовпці матриці А:

Зауваження. Зазвичай лінійне відображення позначають не буквою, а тієї ж буквою, що і матрицю, за допомогою якої визначається це відображення:

тобто це відображення, яке кожному колонку ставить у відповідність стовпець, так що

Зазвичай стовпець позначають буквою, тобто . І замість того, щоб говорити про ядро ​​і образі лінійного відображення, кажуть: ядро ​​матриці А, образ матриці А, за замовчуванням припускаючи під цим ядро ​​і образ відповідного лінійного відображення.

Таким чином, в цих позначеннях

Приклад 4. Нехай - природний гомоморфізм. Очевидно, що його ядро ​​нульове, тобто складається з одного нульового вектора, а образ цього відображення збігається з простором стовпців:

Приклад 5. Легко бачити, що,.

Теорема. Нехай лінійне відображення векторних просторів. Тоді ядро ​​лінійного відображення є векторним подпространством простору, а образ - векторним подпространством простору.

Доведення. 1) Нехай,. Тоді. Але f - гомоморфізм, тому,

2). Так як f - гомоморфізм, то

Теорема (Про розмірності ядра і образу лінійного відображення.) Нехай лінійне відображення векторних просторів. тоді

Доведення. Нехай і - базис ядра. Так як - підпростір простору V, то доповнимо базис ядра до базису простору V. Нехай - базис простору V і

Доведемо, що - базис, звідки відразу ж буде слідувати теорема.

Доведемо, що є породжує системою підпростору. Нехай - довільний вектор підпростору. Тоді. Розкладемо вектор х по базису простору V:

Тут, ми скористалися властивістю лінійності гомоморфизма f і тим, що, звідки

Доведемо, що є лінійно незалежною системою. нехай

За властивостями лінійності,

Розкладемо вектор v по базису ядра:, звідки отримуємо рівність:

Так як - базис простору V, то всі коефіцієнти в цій лінійної комбінації дорівнюють нулю, тобто система може представляти нульовий вектор тільки тривіально і вона є лінійно незалежної, ч.т.д.

Теорема. Гомоморфізм векторних просторів є изоморфизмом тоді і тільки тоді, коли