Інтерполяція функцій - інтерполювання сплайнами

Інтерполяція функцій - Інтерполяція сплайнами

Інтерполяційні формули Лагранжа, Ньютона і Стірлінга і ін. При використанні великої кількості вузлів інтерполяції на всьому відрізку [a. b] часто призводять до поганого наближенню через накопичення похибок в процесі обчислень [2]. Крім того, через розбіжність процесу інтерполяції збільшення числа вузлів не обов'язково призводить до підвищення точності. Для зниження похибок весь відрізок [a. b] розбивається на часткові відрізки і на кожному з них функціюзаменяют наближено полиномом невисокого ступеня. Це називається кусочно-поліноміальної інтерполяції.

Один із способів інтерполяції на всьому відрізку [a. b] є інтерполювання сплайнами.

Сплайном називається кусочно-поліноміальна функція, певна наотрезке [a. b] і має на цьому відрізку кілька безперервних похідних. Переваги інтерполяції сплайнами в порівнянні зі звичайними методами інтерполяції - в збіжності і стійкості обчислювального процесу.

Розглянемо один з найбільш поширених в практиці випадків - інтерполювання функції кубічним сплайном.
Нехай на відрізку [a. b] задана неперервна функція. Введемо розбиття відрізка:

Сплайном, відповідним даної функциии вузлів інтерполяції (6) називається функція, яка задовольняє таким умовам:

1) на кожному відрізку, функція є кубічним многочленом;

2) функція, а також її перша і друга похідні неперервні на відрізку [a. b];

Третя умова називається умовою інтерполяції. Сплайн, який визначається умовами 1) - 3), називається інтерполяційним кубічним сплайном.

Розглянемо спосіб побудови кубічного сплайна [2].

На кожному з відрізків, будемо шукати сплайн-функцію у вигляді полінома третього ступеня:

де шукані коефіцієнти.

Продифференцируем (7) тричі по х:

З умови інтерполяції 3) отримуємо:

Крім того, будемо вважати.

З умов безперервності функції випливає:

Звідси з урахуванням (7) отримаємо:

Обозначіві опускаючи проміжні викладення [2], остаточно отримаємо систему рівнянь для визначення коефіцієнтів:

В силу трехдіагональной матриці коефіцієнтів система (9) має єдине рішення [2]. Знайшовши коефіцієнти. інші коефіцієнти визначимо по явним формулами:

Таким чином, існує і знайдений єдиний кубічний сплайн, що задовольняє умовам 1) - 3).