ідеальне число

Ідеальні числа були введені Куммером і послужили відправною точкою для визначення ідеалів кілець. введених пізніше Дедекіндом. В даний час цей термін не використовується і замінений поняттям ідеалу.

Ідеал в кільці є головним. якщо він складається з елементів, кратних деякому елементу, інакше він неглавний. Таким чином, кожному числу кільця можна зіставити головний ідеал, при цьому можна припустити існування ідеальних чисел, яким би відповідав довільний ідеал.

Нехай y - корінь рівняння y ² + y + 6 = 0, тоді кільце цілих чисел поля $\backslash \; Bbb\; (y)$ - це $\backslash \; Bbb\; [y]$, тобто всі вирази виду a + by. де a і b - елементи кільця цілих чисел. Приклад неголовне ідеалу в такому кільці - 2a + yb. де a і b - цілі числа; куб цього ідеалу - головний, група класу - циклічна порядку 3. Відповідне поле класу виходить приєднанням всіх елементів w виду w ³ - w - 1 = 0 до $\backslash \; Bbb\; (y)$, що дає $\backslash \; Bbb\; (y,\; w)$. Ідеальне число неголовне ідеалу 2a + yb - це $\backslash \; Iota\; =\; (-8-16y-18w\; +\; 12w\; ^\; 2\; +\; 10yw\; +\; yw\; ^\; 2)\; /\; 23$. Так як воно задовольняє рівняння $\backslash \; Iota\; ^\; 6-2\; \backslash \; iota\; ^\; 5\; +\; 13\; \backslash \; iota\; ^\; 4-15\; \backslash \; iota\; ^\; 3\; +\; 16\; \backslash \; iota\; ^\; 2\; +\; 28\; \backslash \; iota\; +\; 8\; =\; 0$, то воно алгебраїчне ціле число.

Всі елементи кільця цілих чисел поля класів, при множенні на ι дають $\backslash \; Bbb\; [y]$ мають вигляд a α + b β, де

Коефіцієнти α і β також алгебраїчні цілі числа, що задовольняють

відповідно. Помноживши a α + b β на ідеальне число ι, отримуємо 2a + by. що є неголовним ідеалом.

Вважається, що Куммер прийшов до ідеї «ідеальних комплексних чисел» при вивченні Великої теореми Ферма; розповідають навіть, що Куммер, як і ламе. вважав, що довів Велику теорему Ферма, поки Дирихле не сказав йому, що його доводи спираються на єдиність факторизації; але ця історія була вперше розказана Куртом Гензель в 1910 і, швидше за все, сталася через помилки в одному з джерел Гензеля. Гарольд Едвардс сказав, що «віра в те, що Куммер всерйоз цікавився Останньою теоремою Ферма. безсумнівно є хибною ».

Узагальнення ідей Куммера було здійснено Кронекером і Дедекіндом протягом наступних сорока років. Пряме узагальнення зіткнулося з серйозними труднощами, що призвело Дедекинда до створення теорії модулів і ідеалів. Кронекер впорався з труднощами, розвинувши теорію форм (узагальнення квадратичних форм) і теорію дівізоров. Роботи Дедекинда лягли в основу теорії кілець і загальної алгебри. а роботи Кронекера створили головний інструмент алгебраїчної геометрії.

Напишіть відгук про статтю "Ідеальне число"

література

Уривок, що характеризує Ідеальне число

- Ні, мама, я не закохана в нього, повинно бути не закохана в нього.
- Ну, так так і скажи йому.
- Мама, ви гнівайтесь? Ви не гнівайтесь, голубонько, ну в чому ж я винна?
- Ні, так що ж, мій друг? Хочеш, я піду скажу йому, - сказала графиня, посміхаючись.
- Ні, я сама, тільки навчіть. Вам все легко, - додала вона, відповідаючи на її посмішку. - А коли б бачили ви, як він мені це сказав! Адже я знаю, що він не хотів цього сказати, да уж ненавмисно сказав.
- Ну все таки треба відмовити.
- Ні не потрібно. Мені так його шкода! Він такий милий.
- Ну, так прийми пропозицію. І то пора заміж іти, - сердито і насмішкувато сказала мати.
- Ні, мама, мені так шкода його. Я не знаю, як я скажу.
- Так тобі й годі говорити, я сама скажу, - сказала графиня, обурена тим, що наважилися дивитися, як на велику, на цю маленьку Наташу.
- Ні, ні за що, я сама, а ви слухайте у двері, - і Наташа побігла через вітальню в залу, де на тому ж стільці, у клавікорд, закривши обличчя руками, сидів Денисов. Він схопився на звук її легких кроків.
- Наталі, - сказав він, швидкими кроками підходячи до неї, - вирішуйте мою долю. Вона в ваших руках!
- Василь Дмитрович, мені вас так шкода! ... Ні, але ви такий славний ... але не треба ... це ... а так я вас завжди буду любити.
Денисов нагнувся над її рукою, і вона почула дивні, незрозумілі для неї звуки. Вона поцілувала його в чорну, сплутані, кучеряву голову. У цей час почувся поспішний шум сукні графині. Вона підійшла до них.
- Василь Дмитрович, я дякую вам за честь, - сказала графиня збентеженим голосом, але який здавався суворим Денисову, - але моя дочка так молода, і я думала, що ви, як друг мого сина, зверніться перш до мене. В такому випадку ви не поставили б мене в необхідності відмови.
- Г'афіня, - сказав Денисов з опущеними очима і винувато, хотів сказати що то ще й запнувся.
Наташа не могла спокійно бачити його таким жалюгідним. Вона почала голосно схлипувати.
- Г'афіня, я винен перед вами, - продовжував Денисов тремтячим голосом, - але знайте, що я так боготво'ю вашу дочку і все ваше сімейство, що два життя віддам ... - Він подивився на графиню і, помітивши її суворе обличчя ... - Ну п'ощайте, г'афіня, - сказав він, поцілував її руку і, не глянувши на Наташу, швидкими, рішучими кроками вийшов з кімнати.

Після свого пояснення з дружиною, П'єр поїхав до Харкова. У Торжку на Станція не було коней, або не хотів їх доглядач. П'єр повинен був чекати. Він не роздягаючись ліг на шкіряний диван перед круглим столом, поклав на цей стіл свої великі ноги в теплих чоботях і задумався.
- Накажете валізи внести? Постіль постелити, чаю накажете? - питав камердинер.
П'єр не відповідав, тому що нічого не чув і не бачив. Він задумався ще минулого станції і все ще думав про те ж - про такому важливому, що він не звертав ніякої .вніманія на те, що відбувалося навколо нього. Його не тільки не цікавило те, що він пізніше або раніше приїде до Харкова, або те, що буде чи не буде йому місця відпочити на цій станції, але все одно було в порівнянні з тими думками, які його займали тепер, пробуде він кілька годин або все життя на цій станції.
Доглядач, смотрітельша, камердинер, баба з Торжковская шиттям заходили в кімнату, пропонуючи свої послуги. П'єр, що не змінюючи свого положення задертих ніг, дивився на них через окуляри, і не розумів, що їм може бути потрібно і яким чином все вони могли жити, не дозволивши тих питань, які займали його. А його займали все одні й ті ж питання з самого того дня, як він після дуелі повернувся з Сокільників і провів першу, болісну, безсонну ніч; тільки тепер на самоті подорожі, вони з особливою силою оволоділи ним. Про що б він не починав думати, він повертався до одних і тих самих питань, яких він не міг дозволити, і не міг перестати ставити собі. Наче в голові його згорнувся той головний гвинт, на якому трималася вся його життя. Гвинт не входив далі, не виходив он, а вертівся, нічого не захоплюючи, все на тому ж нарізі, і не можна було перестати вертіти його.