Графічне рішення нерівностей, найбільший портал по навчанню

Графічне рішення нерівностей

Графічне представлення функцій дозволяє приблизно вирішувати нерівності з одним невідомим і системи нерівностей з одним і двома невідомими. Щоб вирішити графічно нерівність з одним невідомим. необхідно перенести всі його члени в одну частину, т.e. привести до виду:

і побудувати графік функції y = f (x). Після цього, використовуючи побудований графік, можна знайти нулі функції. які розділять вісь Х на кілька інтервалів. Тепер на основі цього визначимо інтервали x. всередині яких знак функції відповідає знаку нерівності. Наприклад, нулі нашої функції: a і b (рис.30). Тоді з графіка очевидно, що інтервали, всередині яких f (x)> 0: x b (вони виделенижірнимі стрілками). Ясно, що знак> тут умовний; замість нього може бути будь-який інший: <. . .

Щоб вирішити графічно систему нерівностей з одним невідомим, потрібно перенести в кожному з них всі члени в одну частину, т.e. привести нерівності до вигляду:

і побудувати графіки функцій y = f (x), y = g (x). y = h (x). Кожне з цих нерівностей вирішується графічним методом, описаним вище. Після цього потрібно знайти перетин рішень всіх нерівностей, т.e. їх загальну частину.

П р и м і р. Вирішити графічно систему нерівностей:

Р і ш е н і е. Спочатку побудуємо графіки функцій y = - 2/3 x + 2 і

Рішенням першого нерівності є інтервал x> 3, позначений на рис.31 чорної стрілкою; рішення другого нерівності складається з двох інтервалів: x <-1 и x> 1, позначених на рис.31 сірими стрілками.

З графіка видно, що перетином цих двох рішень є інтервал x> 3. Це і є рішення заданої системи нерівностей.

Щоб вирішити графічно систему двох нерівностей з двома невідомими, треба:

1) в кожному з них перенести всі члени в одну частину, т.e. привести

нерівності до вигляду:

2) побудувати графіки функцій, заданих неявно: f (x, y) = 0 і g (x, y) = 0;

3) кожен з цих графіків ділить координатну площину на дві частини:

в одній з них неравенствосправедліво, в іншій - ні; щоб вирішити

графічно кожне з цих нерівностей, досить перевірити

справедливість нерівності в одній довільній точці всередині будь-якої

частини площині; якщо нерівність має місце в цій точці, значить

ця частина координатної площині є його рішенням, якщо немає - то

рішенням є протилежна частина площині;

4) рішенням заданої системи нерівностей є перетин

(Загальна область) частин координатної площини.

П р и м і р. Вирішити систему нерівностей:

Р і ш е н і е. Спочатку будуємо графіки лінійних функцій: 5x - 7y = -11 і

2x + 3y = 10 (рис.32). Для кожної з них знаходимо напівплощина,

всередині якої відповідне заданий нерівність

справедливо. Ми знаємо, що досить перевірити справедливість

нерівності в одній довільній точці області; в данному

випадку найлегше використовувати для цього початок координат O (0, 0).

Підставляючи його координати в наші нерівності замість x і y.

отримаємо: 5 · 0 - 7 · 0 = 0> -11, отже, нижня

напівплощина (жовтого кольору) є рішенням першого

нерівності; 2 · 0 + 3 · 0 = 0 <10, поэтому второе неравенство

має своїм рішенням також нижню полуплоскость (блакитного

кольори ). Перетин цих напівплощин (область кольору бірюзи)

є рішенням нашої системи нерівностей.