Головні осі і головні моменти інерції
Осі, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, називають головними осями (іноді їх називають головними осями інерції). Через будь-яку точку, взяту в площині перетину, можна провести в загальному випадку пару головних осей (в деяких окремих випадках їх може бути безліч). Для того щоб переконатися в справедливості цього твердження, розглянемо, як змінюється відцентровий момент інерції при повороті осей на 90 '(рис. Б.7). Для довільної площадки dA, взятої в першому квадраті системи осей хОу, обидві координати, а отже, і їх твір позитивні. У новій системі координат х, Оу "поверненою щодо первісної на 90 ', твір координат розглянутої площадки негативно. Абсолютне значення цього твору не змінюється, т. Е. Ху = - Х1У. Очевидно, те ж саме має місце і для будь-якої іншої елементарної площадки. Значить, і знак суми dAxy, що представляє собою відцентровий момент інерції перерізу, при повороті осей на 90 'змінюється на протилежний, тобто. Е. J = = - J.
В процесі повороту осей відцентровий момент інерції змінюється безперервно, отже, при деякому положенні осей він стає рівним нулю. Ці осі і є головними.
Хоча ми і встановили, що головні осі можна провести через будь-яку точку перетину, але практичний інтерес представляють тільки ті з них, які проходять через центр ваги перерізу - головні центральні осі. Надалі, як правило, для стислості будемо називати їх просто головними осями, опускаючи слово «центральні».
У загальному випадку перетину довільної форми для визначення положення головних осей необхідно провести спеціальне дослідження. Тут обмежимося розглядом окремих випадків перетинів, що мають щонайменше одну вісь симетрії (рис. 6.8).
П
так як, для будь-якої елементарної площадки, розташованої праворуч від осі симетрії, є відповідна зліва, для якої твір координат відрізняється лише знаком.
Таким чином, відцентровий момент інерції щодо осей Ох і Оу виявився рівним нулю, т. Е. Це головні осі. Отже, для знаходження головних осей симетричного перетину досить визначити місце розташування його центра ваги. Однією з головних центральних осей є вісь симетрії, друга вісь їй перпендикулярна. Звичайно, наведене доказ залишається в силі, якщо вісь, перпендикулярна осі симетрії, проходить і не через центр ваги перерізу, т. Е. Вісь симетрії і будь-яка, їй перпендикулярна, утворюють систему головних осей.
Нецентральних головні осі, як уже вказувалося, інтересу не представляють.
Осьові моменти інерції щодо головних центральних осей називають головними центральними (або скорочено головними) моментами інерції. Щодо однієї з головних осей момент інерції максимальний, щодо іншого - мінімальний. Наприклад, для перетину, зображеного на рис. 6.8, максимальним є момент інерції J
(Щодо осі Ox). Звичайно, говорячи про екстремальності головних моментів інерції, мають на увазі лише їх порівняння з іншими моментами інерції, обчисленими щодо осей, що проходять через ту ж точку перетину. Таким чином, та обставина, що один з головних моментів інерції максимальний, а інший - мінімальний, можна розглядати як пояснення того, що вони (н відповідні осі) називаються головними. Рівність же нулю відцентрового моменту інерції щодо головних осей - зручний ознака для нх знаходження. Деякі типи перетинів, наприклад коло, квадрат, правильний шестикутник і ін. (Рис. 6.9), мають безліч головних центральних осей. Для цих перетинів будь-яка центральна вісь є головною.
Не наводячи докази, вкажемо, що, в разі якщо два головних центральних моменту інерції перерізу рівні між собою, у цього перетину будь-яка центральна вісь головна і всі головні центральні моменти інерції однакові.