Геометричні застосування визначеного інтеграла 1

Площа криволінійної фігури в прямокутних декартових координатах

Площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції y = f (x). зліва і справа - прямими x = a і x = b відповідно, знизу - віссю Ox. обчислюється за формулою

Площа криволінійної трапеції, обмеженою справа графіком функції x = φ (y). зверху і знизу - прямими y = d і y = c відповідно, зліва - віссю Oy.

Площа криволінійної фігури, обмеженої зверху графіком функції y2 = f2 (x). знизу - графіком функції y1 = f1 (x). зліва і справа - прямими x = a і x = b.

Площа криволінійної фігури, обмеженою зліва і справа графіками функцій x1 = φ1 (y) і x2 = φ2 (y). зверху і знизу - прямими y = d і y = c відповідно:

Розглянемо випадок, коли лінія, що обмежує криволінійну трапецію зверху, задана параметричними рівняннями x = φ1 (t). y = φ2 (t). де α ≤ t ≤ β. φ1 (α) = a. φ1 (β) = b. Ці рівняння визначають деяку функцію y = f (x) на відрізку [a, b]. Площа криволінійної трапеції обчислюється за формулою

Площа в полярних координатах

Розглянемо криволінійний сектор OAB. обмежений лінією, заданою рівнянням ρ = ρ (φ) в полярних координатах, двома променями OA і OB. для яких φ = α. φ = β.

Сектор розіб'ємо на елементарні сектори OMk-1 Mk (k = 1, ..., n. M0 = A. Mn = B). Позначимо через δφk кут між променями OMk-1 і OMk. утворюють з полярною віссю кути φk-1 і φk відповідно. Кожен з елементарних секторів OMk-1 Mk замінимо круговим сектором з радіусом ρk = ρ (φ'k). де φ'k - значення кута φ з проміжку [φk-1. φk], і центральним кутом δφk. Площа останнього сектора виражається формулою.

висловлює площа "ступеневої" сектора, наближено заміняє даний сектор OAB.

Площею сектора OAB називається межа площі "ступеневої" сектора при n → ∞ і λ = max δφk → 0.

Довжина дуги кривої

Нехай на відрізку [a, b] задана диференційована функція y = f (x). графіком якої є дуга. Відрізок [a, b] розіб'ємо на n частин точками x1. x2. ..., xn-1. Цим точкам будуть відповідати точки M1. M2. ..., Mn-1 дуги, з'єднаємо їх ламаною лінією, яку називають ламаною, вписаною в дугу. Периметр даної ламаної позначимо через sn. тобто

Визначення. Довжиною дуги лінії називається межа периметра вписаного в неї ламаною, коли число ланок Mk-1 Mk необмежена зростає, а довжина найбільшого з них прагне до нуля:

де λ - довжина найбільшого ланки.

Будемо відраховувати довжину дуги від деякої її точки, наприклад, A. Нехай в точці M (x, y) довжина дуги дорівнює s. а в точці M '(x + δ x, y + δy) довжина дуги дорівнює s + δs. де, i> δs - довжина дуги. З трикутника MNM 'знаходимо довжину хорди:.

З геометричних міркувань слід, що

тобто нескінченно мала дуга лінії і стягуюча її хорда еквівалентні.

Перетворимо формулу, яка має довжину хорди:

Переходячи до межі в цій рівності, отримаємо формулу для похідної функції s = s (x).

з якої знаходимо

Ця формула виражає диференціал дуги плоскої кривої і має простий геометричний зміст. висловлює теорему Піфагора для нескінченно малого трикутника MTN (ds = MT.).

Диференціал дуги просторової кривої визначається формулою

Розглянемо дугу просторової лінії, заданої параметричними рівняннями

де α ≤ t ≤ β. φi (t) (i = 1, 2, 3) - диференційовані функції аргументу t. то

Інтегруючи це рівність по проміжку [α, β], отримуємо формулу для обчислення довжини цієї дуги лінії

Якщо лінія лежить в площині Oxy. то z = 0 при всіх t∈ [α, β]. тому

У разі, коли плоска лінія задана рівнянням y = f (x) (a≤x≤b), де f (x) - функція, що диференціюється, остання формула набуває вигляду

Нехай плоска лінія задана рівнянням ρ = ρ (φ) (α≤φ≤β) в полярних координатах. У цьому випадку маємо параметричні рівняння лінії x = ρ (φ) cos φ. y = ρ (φ) sin φ. де в якості параметра береться полярний кут φ. оскільки

то формула, що виражає довжину дуги лінії ρ = ρ (φ) (α≤φ≤β) в полярних координатах, має вигляд

обсяг тіла

Знайдемо об'єм тіла, якщо відома площа будь-якого поперечного перерізу цього тіла, перпендикулярного деякого напрямку.

Розіб'ємо дане тіло на елементарні шари площинами, перпендикулярними осі Ox і обумовленими рівняннями x = const. Для будь-якого фіксованого x∈ [a, b] відома площа S = S (x) поперечного перерізу даного тіла.

Обсяг зазначеного елементарного циліндра виражається формулою δvk = E (ξk) δxk. Складемо суму всіх таких творів

що є інтегральною сумою для даної функції S = S (x) на відрізку [a, b]. Вона висловлює обсяг ступеневої тіла, що складається з елементарних циліндрів і наближено заміняє дане тіло.

Об'ємом даного тіла називають межу обсягу зазначеного ступеневої тіла при λ → 0. де λ - довжина найбільшого з елементарних відрізків δxk. Позначимо через V обсяг даного тіла, тоді по визначенню

З іншого боку,

Отже, обсяг тіла по заданим поперечним перетинах обчислюється за формулою

Якщо тіло утворено обертанням навколо осі Ox криволінійної трапеції, обмеженої зверху дугою безперервної лінії y = f (x). де a≤x≤b. то S (x) = πf 2 (x) і остання формула набуває вигляду:

Зауваження. Обсяг тіла, отриманого обертанням криволінійної трапеції, обмеженою справа графіком функції x = φ (y) (c ≤ x ≤ d), навколо осі Oy обчислюється за формулою

Площа поверхні обертання

Розглянемо поверхню, отриману обертанням дуги лінії y = f (x) (a≤x≤b) навколо осі Ox (припустимо, що функція y = f (x) має безперервну похідну). Фіксуємо значення x∈ [a, b]. аргументу функції додамо прирощення dx. якому відповідав би "елементарне кільце", отримане обертанням елементарної дуги δl. Це "кільце" замінимо циліндричним кільцем - бічною поверхнею тіла, утвореного обертанням прямокутника з основою, рівним диференціалу дуги dl. і висотою h = f (x). Розрізавши останнє кільце і розгорнувши його, отримаємо смужку шириною dl і довжиною 2πy. де y = f (x).

Отже, диференціал площі поверхні виразиться формулою

Ця формула виражає площу поверхні, отриманої обертанням дуги лінії y = f (x) (a≤x≤b) навколо осі Ox.