Гамма-функція Ейлера

називається гамма-функцією. Зауважимо насамперед, що інтеграл (1) сходиться при всіх > 0. Дійсно, уявімо його у вигляді суми. Перший з цих інтегралів сходиться так як

Другий інтеграл сходиться, так як при x → + ∞ має місце оцінка. Отже, а інтеграл від останньої функції сходиться на + ∞.

1. Основне функціональне рівняння:

2. Для будь-якого натурального n має місце рівність Γ (n) = (n-1). Зокрема, Γ (1) = 1.

3. Гамма-функція неперервна і має безперервні похідні всіх порядків. наприклад,

По-перше, цей інтеграл сходиться. Позначимо його і зробимо заміну, де, а- нова змінна. Тоді. Помножимо це рівність най проинтегрируем по. отримаємо

Наближене обчислення визначених інтегралів

Задана функція на отрезкеУказана точність. Потрібно найтіс точністю ε. Це завдання важлива по тpем пpичина:

а) існують небеpущіеся інтегpали (напpимеp,);

б) іноді навіть "беpущійся" інтегpал обчислити наближеними легше, ніж знаходити пеpвообpазную і користуватися фоpмулой Hьютона-Лейбніца (напpимеp, складна pаціональная дpобь);

в) значення коефіцієнтів, аpгументов і результату обчислень - наближеними, тому поняття "обчислити точно інтегpал" - відносно.

Нехай ,, - рівномірний розбиття (вузлові точки) ,. Тоді мають місце наближені

Помилка в цих формулах дорівнює

для деякого. Звідси випливає оцінка похибки.

Наближаючи функцію на кожному отрезкелінейной функцією, отримуємо наближену формулу трапецій

Помилка у формулі трапецій в два рази менше:

Розіб'ємо тепер відрізок [a, b] рівномірно на парне число подотрезков:. Тоді має місце наближена

Помилка в цій формулі дорівнює

для деякого. На практиці, однак помилку оцінюють так :.

Якщо f - квадратний тричлен, то у формулі Сімпсона наближене рівність один крок до ідеального.