Функція щільності розподілу
1.Визначення теоретичної функції щільності розподілу. Графічне зображення емпіричного і теоретичного розподілів
щільність розподіл довірчий математичний очікування
При побудові гістограм і полігонів по осі абсцис відкладають значення результатів вимірювань (середини інтервалів xi), по осі ординат - зокрема появи результатів вимірювання в кожному i-му інтервалі.
Через обмеженість числа результатів вимірювань при обробці замість математичного очікування і дисперсії отримують їх наближені оцінки- відповідно емпіричне середнє
і емпіричну дисперсію S 2. характеризують середній результат вимірювань і ступінь розбіжності у вимірюванні.
і S 2 визначаються з виразів:
Значення ймовірності попадання результату вимірювання в конкретний інтервал можна визначити, використовуючи значення функції:
,
.
Тоді ймовірність попадання результату в i-й інтервал величиною h
.
Внесемо всі обчислення в таблицю і на підставі отриманих результатів побудуємо криву теоретичного розподілу, а так само гистограмму і полігон емпіричного розподілу:
Середина інтервалу xi
2.Крітерій згоди емпіричного і теоретичного розподілів
Вважають, що емпіричний розподіл добре узгоджується з теоретичним, якщо (1 - g) більше 0,1. Згідно з критерієм Колмогорова, порівнюють емпіричні і теоретичні значення, але вже не щільності розподілу, а інтегральної функції. Значення максимальної (по абсолютній величині) різниці між ними DN підставляють в вираз:
,
де N - обсяг вибірки.
Обчислення емпіричних F'i і теоретичних Fi значень інтегральної функції виробляємо шляхом послідовного підсумовування відповідно значень P'i і Pi. Результати обчислень зведені в таблицю:
Для lN = 0,52 g »0,05 Þ (1 - 0,05) = 0,95> 0,1.
Звідси можна зробити висновок: згоду емпіричного розподілу з нормальним теоретичним можна вважати хорошим.
3. Визначення довірчих інтервалів
У ряді завдань, особливо при малому числі вимірів, потрібно не тільки знайти емпіричну оцінку для того чи іншого параметра, але і визначити довірчий інтервал, в якому з довірчою ймовірністю буде перебувати теоретичне значення параметра.
Довірчий інтервал для математичного очікування визначаємо з виразу:
інтегральний довірчий інтервал математичний очікування
Значення t # 947; табульовані і дорівнює t # 947; = 2,18 для N = 13 і # 947; * = 0,95.
Довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення визначаємо з виразу:
значення # 967, 1 2. # 967; 2 + 2 табульовані і визначається в залежності від числа вимірювань N і односторонніх ймовірностей # 947; 1. # 947; 2:
значення # 967, 1 2 визначаємо при ймовірності (1 # 947; 1), # 967; 2 + 2 - при # 947; 2.