Фізичні та математичні маятники
Математичним маятником називається матеріальна точка, підвішена на нерастяжимой невагомою нитки, яка здійснює коливальний рух в одній вертикальній площині під дією сили тяжіння.
Таким маятником можна вважати важку кулю масою m, підвішений на тонкій нитці, довжина l якій набагато більше розмірів кулі. Якщо його відхилити на кут # 945; (Рис.7.3.) Від вертикальної лінії, то під впливом сили F - однієї зі складових ваги Р він буде здійснювати коливання. Інша складова. спрямована уздовж нитки, не враховується, тому що врівноважується силою натягу нитки. При малих кутах зсуву і, тоді координату х можна відраховувати по горизонтальному напрямку. З рис.7.3 видно, що складова ваги, перпендикулярна нитки, дорівнює
Знак мінус у правій частині означає те, що сила F направлена в сторону зменшення кута # 945 ;. З урахуванням малості кута # 945;
Для виведення закону руху математичного і фізичного маятників використовуємо основне рівняння динаміки обертального руху
Момент сили відносно точки О:. і момент інерції:
M = FL.
Момент інерції J в даному випадку
Кутове прискорення:
З урахуванням цих величин маємо:
Як бачимо, період коливань математичного маятника залежить від його довжини і прискорення сили тяжіння і не залежить від амплітуди коливань.
Фізичним маятником називається тверде тіло, закріплене на нерухомій горизонтальній ocі (осі підвісу), що не проходить через центр ваги, і яка скоює коливання щодо цієї осі під дією сили тяжіння. На відміну від математичного маятника масу такого тіла не можна вважати точковим.
При невеликих кутах відхилення # 945; (Рис. 7.4) фізичний маятник так само здійснює гармонійні коливання. Будемо вважати, що вага фізичного маятника прикладений до його центру тяжіння в точці С. Силою, яка повертає маятник у положення рівноваги, в даному випадку буде складова сили тяжіння - сила F.
Знак мінус у правій частині означає те, що сила F направлена в сторону зменшення кута # 945 ;. З урахуванням малості кута # 945;
Для виведення закону руху математичного і фізичного маятників використовуємо основне рівняння динаміки обертального руху
. Момент сили: визначити в явному вигляді не можна. З урахуванням всіх величин, що входять у вихідне диференціальне рівняння коливань фізичного маятника має вигляд:
Рішення цього рівняння
Визначимо довжину l математичного маятника, при якій період його коливань дорівнює періоду коливань фізичного маятника, тобто або
.
З цього співвідношення визначаємо
Дана формула визначає наведену довжину фізичного маятника, тобто довжину такого математичного маятника, період коливань якого дорівнює періоду коливань даного фізичного маятника.