Елементарні перетворення матриць 1

Показано, що елементарні перетворення будь прямокутної матриці можуть бути здійснені за допомогою операцій множення (праворуч або ліворуч) на елементарні матриці.

Елементарні матриці перестановок і масштабування, а також елементарна неунітарні матриця називаються елементарними матрицями.

Послідовне множення будь такої матриці на задану матрицю A зліва (справа) називається лівостороннім (правостороннім) елементарним перетворенням матриці A.

Алгоритми рішення цілого ряду завдань включають в себе (в якості складових елементів) елементарні перетворення матриць, до числа яких відносяться:

1. множення рядка або стовпця матриці на нульове число;
2. перестановка місцями двох рядків або стовпців матриці;
3. додаток до деякої рядку матриці інший її рядки, попередньо помноженої на довільний коефіцієнт;
4. додаток до деякого колонки матриці іншого її стовпці, попередньо помноженого на довільний коефіцієнт.

Будь-яке елементарне перетворення може бути реалізовано множенням даної матриці (зліва чи справа) на відповідну елементарну матрицю.

1. Нехай Ri (λ) - матриця масштабування (отримана з одиничної матриці відповідного порядку заміною одиниці в i -му рядку числом λ):