Доведіть що чотирикутник abcd є ромбом, якщо а (2; 1; 2), в (0; 1; 6), з (2; 5; 6),

Ромб - це паралелограм, у якого всі сторони рівні.
Ознака паралелограма: "Якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник - паралелограм".
Визначимо координати векторів АВ і CD (протилежні сторони чотирикутника).
Щоб знайти координати вектора, заданого координатами початку і кінця, треба від координат КІНЦЯ відняти відповідні координати ПОЧАТКУ. Тоді вектор АВ або АВ, а вектор
CD або CD.
Знайдемо модуль (довжину) векторів АВ і СD.
Довжина вектора, заданого координатами, дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координат.
| AB | = √ (4 + 0 + 16) = √20.
| CD | = √ (4 + 0 + 16) = √20.
Отже, сторони АВ і CD чотирикутника рівні.
Розглянемо протилежні сторони ВС і АD.
Вектор ВС, а вектор AD
| BC | = √ (4 + 16 + 0) = √20.
| AD | = √ (4 + 16 + 0) = √20.
Отже, сторони ВС і АD чотирикутника рівні.
Так як протилежні сторони чотирикутника АВСD попарно рівні, це паралелограм.
Але всі чотири сторони цього паралелограма рівні. Отже, це ромб. Що й потрібно було довести.

P.S. Треба відзначити, що в даних (координати точок) є помилка. Координати точки С повинні бути: С (-2; 5; 6) а не С (2; 5; 6)
Два вектора колінеарні (паралельні), якщо відносини їх координат рівні.
Якщо ми перевіримо вектора АВ і CD (ВС і AD) на паралельність з координатами, даними в умові. то
Xab / Xcd = 1; Zab / Zcd = -1, тобто вектора НЕ паралельні?
При координатах А (2; 1; 2), В (0; 1; 6), С (-2; 5; 6), D (0; 5; 2).
AB, CD Тоді відношення координат дорівнює -1 і все добре, вектора паралельні. Так само і з векторами ВС і AD:
ВС, AD. Ставлення координат дорівнює 1. Все гаразд. Сторони попарно рівні і паралельні.