Дослідження графіка функції на опуклість і точку перегину

Проміжки, в яких графік функції звернений опуклістю вгору або вниз, називаються проміжками опуклості графіка функції. Опуклість графіка функції y = f (x) характеризується знаком її другої похідної:

- якщо в деякому проміжку друга похідна f'' (x)> 0, то графік функції опуклий вниз в цьому проміжку;

- якщо в деякому проміжку друга похідна f'' (x)<0, то график функции выпуклый вверх в этом промежутке.

Точка графіка функції y = f (x), що розділяє проміжки опуклості протилежних напрямків, називається точкою перегину. Точками перегину можуть служити тільки критичні точки, в яких друга похідна f'' (x) дорівнює нулю або терпить розрив. Якщо при переході через критичну точку х0 друга похідна f'' (x) змінює знак, то графік функції має точку перегину (х0; у0).

Алгоритм дослідження функції на опуклість і точку перегину:

1. Знайти другу похідну функції у' '.

2. Прирівняти y' 'до нуля, вирішити рівняння, знайти критичні точки.

3. Виключити критичні точки з області визначення. вказати інтервали знакопостоянства y' '.

4. На кожному інтервалі визначити знак другої похідної y' '.

5. За знаком похідної y' 'встановити напрям опуклості графіка функції: при y''> 0 графік опуклий вниз ∪, при y' ' <0 график выпуклый вверх ∩.

6. Знайти точку перегину, якщо вона існує.

7. Результати дослідження занести в таблицю.

8. Побудувати схематичний графік даної функції.

Приклад 2. Дослідити функцію на опуклість і точку перегину.

2) 2х + 4 = 0; х = -2 - крит. крапка