Додавання і віднімання векторів

Додавання двох векторів

Візьмемо довільну точку О і побудуємо вектор $ \ overrightarrow = \ overrightarrow $. Потім від точки А відкладемо вектор $ \ overrightarrow = \ overrightarrow $. Вектор $ \ overrightarrow $, що з'єднує початок першого доданка вектора з кінцем другого (рис.1, б), називається сумою цих векторів і позначається $ \ overrightarrow + \ overrightarrow $$ (правило трикутника).

Ту ж саму суму векторів можна отримати іншим способом. Відкладемо від точки Про вектори $ \ overrightarrow = \ overrightarrow \, і \, \ overrightarrow = \ overrightarrow $ (рис.1, в). Побудуємо на цих векторах як на сторонах паралелограма ОABC. Вектор $ \ overrightarrow $, службовець діагоналлю цього паралелограма, проведеної з вершини О, є, очевидно, сумою векторів $ \ overrightarrow + \ overrightarrow $ правило паралелограма). З малюнка 1, в безпосередньо випливає, що сума двох векторів має переместітельним властивістю: $ \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow + \ overrightarrow $

Дійсно, кожен з векторів $ \ overrightarrow + \ overrightarrow \, і \, = \ overrightarrow + \ overrightarrow $ дорівнює одному і тим самим вектором $ \ overrightarrow $.

Приклад 1. У трикутнику ABC АВ = 3, ВС = 4, ∠ В = 90 °. Знайти: $ а) \, \ \ overrightarrow + \ overrightarrow; \, \, \ б) \, \ | \ overrightarrow + \ overrightarrow | $.

б) Так як $ \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow \, \ ,, \, \, то \, \, | \ overrightarrow + \ overrightarrow | = | \ Overrightarrow | = АС $.

Тепер, застосовуючи теорему Піфагора, знаходимо $$ AC = \ sqrt = \ sqrt = 5 \\ тобто \, | \ overrightarrow + \ overrightarrow | = 5. $$

Поняття суми векторів можна узагальнити на випадок будь-якого кінцевого числа доданків векторів.

Нехай, наприклад, дані три вектора $ \ overrightarrow, \ overrightarrow \, і \, \ overrightarrow $ (рис.2).

Додавання трьох векторів

Побудувавши спочатку суму векторів $ \ overrightarrow + \ overrightarrow $. а потім додавши до цієї суми вектор $ \ overrightarrow $, отримаємо вектор $ (\ overrightarrow + \ overrightarrow) + \ overrightarrow $. На малюнку 2 $$ \ overrightarrow = \ overrightarrow \ ,; \ Overrightarrow = b \ ,; \ Overrightarrow = \ overrightarrow + \ overrightarrow \ ,; \ Overrightarrow = \ overrightarrow \\ і \\ \ overrightarrow = \ overrightarrow + \ overrightarrow = (\ overrightarrow + \ overrightarrow) + \ overrightarrow $$ З малюнка 2 видно, що той же вектор $ \ overrightarrow $ ми отримаємо, якщо до вектора $ \ overrightarrow = \ overrightarrow $ додамо вектор $ \ overrightarrow = \ overrightarrow + \ overrightarrow $. Таким чином, $ (\ overrightarrow + \ overrightarrow) + \ overrightarrow = \ overrightarrow + (\ overrightarrow + \ overrightarrow) $. т. е. сума векторів має сполучна властивості. Тому суму трьох векторів $ \ overrightarrow \ ,, \, \ overrightarrow \ ,, \, \ overrightarrow $ записують просто $ \ overrightarrow + \ overrightarrow + \ overrightarrow $.

Різницею двох векторів $ \ overrightarrow \, і \, \ overrightarrow $ називається третій вектор $ \ overrightarrow = \ overrightarrow - \ overrightarrow $. сума якого з від'ємником вектором $ \ overrightarrow $ дає вектор $ \ overrightarrow $. Таким чином, якщо $ \ overrightarrow = \ overrightarrow - \ overrightarrow \ ,, \, то \, \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow $.

З визначення суми двох векторів випливає правило побудови вектора-різниці (рис.3).

Відкладаємо вектори $ \ overrightarrow = \ overrightarrow \, і \, \ overrightarrow = \ overrightarrow $ із загальної точки О. Вектор $ \ overrightarrow $. з'єднує кінці зменшуваного вектора $ \ overrightarrow $ і від'ємника вектора $ \ overrightarrow $ і спрямований від від'ємника до зменшуваного, є різницею $ \ overrightarrow = \ overrightarrow - \ overrightarrow $. Дійсно, за правилом додавання векторів $ \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow \ text \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow $.

Приклад 2. Сторона рівностороннього трикутника ABC дорівнює а. Знайти: $ а) | \ overrightarrow - \ overrightarrow | \,; \, \ б) \, \, \ | \ overrightarrow - \ overrightarrow | $.

Рішення а) Так як $ \ overrightarrow - \ overrightarrow = \ overrightarrow \ text | \ overrightarrow | = А \ text | \ overrightarrow - \ overrightarrow | = А $.

б) Так як $ \ overrightarrow - \ overrightarrow = \ overrightarrow \ text | \ overrightarrow | = А \ text | \ overrightarrow - \ overrightarrow | = А $.

Твором вектора $ \ overrightarrow $ (позначається $ = \ lambda \ overrightarrow $ або $ \ overrightarrow \ lambda $) на дійсне число $ \ lambda $ називається вектор $ \ overrightarrow $, колінеарний вектору $ \ overrightarrow $, що має довжину, рівну $ | \ lambda || \ overrightarrow | $, і той же напрямок, що і вектор $ \ overrightarrow $, якщо $ \ lambda> 0 $. і напрям, протилежний напрямку вектора $ \ overrightarrow $, якщо $ \ lambda <0$. Так, например, $2\overrightarrow$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow$. а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow$ (рис.4).

Множення вектора на число

У разі, коли $ \ lambda = 0 $ або $ \ overrightarrow = 0 $. твір $ \ lambda \ overrightarrow $ являє собою нульовий вектор. Протилежний вектор $ - \ overrightarrow $ можна розглядати як результат множення вектора $ \ overrightarrow $ на $ \ lambda = -1 $ (див. Рис.4): $$ - \ overrightarrow = \ (-1) \ overrightarrow $$ Очевидно, що $ \ overrightarrow + (- \ overrightarrow) = \ overrightarrow $.

Приклад 3. Довести, що якщо О, А, В і С - довільні точки, то $ \ overrightarrow + \ overrightarrow + \ overrightarrow + \ overrightarrow = 0 $.

Рішення. Сума векторів $ \ overrightarrow + \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow $. вектор $ \ overrightarrow $ - протилежний вектору $ \ overrightarrow $. Тому $ \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow $.

Нехай дано вектор $ \ overrightarrow $. Розглянемо одиничний вектор $ \ overrightarrow $. колінеарний вектору $ \ overrightarrow $ і однаково з ним спрямований. З визначення множення вектора на число слід, що $$ \ overrightarrow = | \ overrightarrow | \, \ \ overrightarrow $$. тобто кожен вектор дорівнює добутку його модуля на одиничний вектор того ж напрямку. Далі з того ж визначення випливає, що якщо $ \ overrightarrow = \ lambda \ overrightarrow $. де $ \ overrightarrow $ - ненульовий вектор, то вектори $ \ overrightarrow \, і \, \ overrightarrow $ колінеарні. Очевидно, що і назад, з коллинеарности векторів $ \ overrightarrow \, і \, \ overrightarrow $ випливає, що $ \ overrightarrow = \ lambda \ overrightarrow $.

Приклад 4. Довжина вектора AB дорівнює 3, довжина вектора AC дорівнює 5. Косинус кута між цими векторами дорівнює 1/15. Знайдіть довжину вектора AB + AC.