Числові і статечні ряди

МІНІСТЕРСТВО ЗВ'ЯЗКУ

Хабаровський інститут інфокомунікацій (філія)

Сибірський державний університет

телекомунікацій та інформатики

по темі «Числові і статечні ряди»

В методичній розробці по темі «Числові і статечні ряди» викладені основні процеси теорії числових і степеневих рядів. Дано визначення, формулювання теорем. Деякі теореми наведені з доказом. Виклад супроводжується детально розробленими прикладами. В кінці кожного розділу дано вправи.

Методична розробка на допомогу студентам - заочникам Біла Церква інституту інфокомунікацій при вивченні даної теми.

Укладачі: доктор ф - м. Н. професор,

1. ЧИСЛОВІ РЯДИ

1.1 Визначення ряду і його суми. Властивості рядів. Необхідна ознака збіжності. Геометричний ряд і гармонійний ряд

Нехай задана послідовність чисел Для будь-якого кінцевого набору чисел можна підрахувати наступну суму. Якщо ж взяти всю послідовність і скласти нескінченну суму доданків, тобто, то отримаємо новий об'єкт, тому що не вміємо знаходити суму нескінченного числа доданків.

Визначення 1. Вираз виду, де - задані числа, називається числовим рядом.

Числа називаються членами ряду; - n й член ряду називається загальним членом ряду.

Очевидно, що для завдання ряду потрібно знати формулу загального члена ряду або за вказаним законом скласти формулу загального члена ряду.

Визначення 2. Сума n перших членів ряду називається n-й часткової (приватної) сумою ряду і позначається через Sn. тобто .

Визначення 3. Межа n-ой приватної суми ряду, якщо він існує і кінцевий, називається сумою ряду, тобто. В цьому випадку числовий ряд називається збіжним. Якщо чи не існує, то ряд називається розбіжним.

Приклад 1. Знайти суму ряду.

Зауважимо, що має місце розташування

, тоді Sn перепишеться у вигляді

, звідси і, тобто ряд збігається і його сума дорівнює 1.

Визначення 4. Ряд виду називається геометричним поруч.

Теорема 1. Геометричний ряд сходиться при і його сума S дорівнює і розходиться при.

Доведення. Наведемо його толь для. Неважко бачити, що n-ая часткова сума має вигляд

Помноживши на q рівність (1), отримуємо

З рівності (1) віднімаємо (2), отримуємо, звідси

Відомо, що при, тому,. Тоді звідси і з (3) випливає рівність.

Для сходяться числових рядів мають місце такі властивості:

Властивість 1. Відкидання будь-якого кінцевого числа членів ряду не впливає на його збіжність.

Властивість 2. Якщо члени сходиться ряду, що має суму S, помножити на число λ, то отриманий ряд буде також сходящимся, а число S - його сумою.

Властивість 3. Якщо ряди і сходяться, то сходиться і ряд, причому його сума дорівнює сумі алгебри вихідних рядів.

Теорема 2. (Необхідна ознака збіжності). Якщо ряд сходиться, то загальний член даного ряду прямує до нуля при, тобто.

Доведення. Згідно з визначенням 2 n-ая і (n - 1) -а часткові суми даного ряду мають вигляд,. Так як ряд сходиться, то,. Очевидно, що, тому.

Слідство 1. Якщо, то ряд (1) розходиться.

Наприклад, розглянемо ряд. Тут і, отже ряд розходиться.

Визначення. Ряд виду називається гармонійним рядом.

Теорема 3. Гармонійний ряд розходиться. Доказ цього факту наведемо пізніше. У гармонійного ряду і, а ряд проте, розходиться.

1.2 Ряди з додатними членами. Ознаки збіжності, ознаки порівняння, ознаки Даламбера і Коші, інтегральний ознака

Визначення 1. Ряд, члени якого невід'ємні числа, називається знакоположітельним поруч.

Сформулюємо ряд ознак, за допомогою яких можна досліджувати знакоположітельние ряди на збіжність.

Нагадаємо наступні факти:

Визначення 2. Послідовність називається неубивающей, якщо для всіх n виконано нерівність.

Визначення 3. Послідовність називається обмеженою, якщо існує число М> 0, яке не залежить від n, таке, що.

Теорема А. Будь-яка неубутна, обмежена послідовність має кінцевий межа.